SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS

•   Si la integral es de la forma:    $\displaystyle \int f(x,\sqrt{a^2-x^2})dx$, donde a > 0 y f representa una función de dos variables, entonces, mediante la sustitución: $\displaystyle x=asen(t); dx=acos(t)dt$, dicha integral se transforma a una de la forma: $\displaystyle \int (anse(t), a cos(t))dt$  a $\displaystyle cos(t)dt$, puesto que:

$\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2sen^2(t)}=a\sqrt{1-sen^2(t)}=a cos(t)$ 

     Ejemplo. - Calcular: $\displaystyle \int \frac{x^3dx}{\sqrt{2-x}}$ 

    En este caso usaremos la sustitución: $\displaystyle x=\sqrt{2}sen(t)$  con lo cual $\displaystyle dx=\sqrt{2}cos(t)dt$, y entonces: 

$\displaystyle \int \frac{x^3dx}{\sqrt{2-x^2}}=\int \frac{(\sqrt{8}sen^3(t))(\sqrt{2}cos(t))}{\sqrt{2-2sen^2(t)}}=\sqrt{8}\int \frac{sen^3(t)cos(t)}{cos(t)}dt$ 

$\displaystyle =\sqrt{8}\int sen^3(t)dt=\sqrt{8}\int (1-cos^2(t))sen(t)dt$ 

$\displaystyle =\sqrt{8}\left [ -\int d(cos(t))+\int cos^2(t)d(cos(t)) \right ]$ 

$\displaystyle =\sqrt{8}\left ( -cos(t)+\frac{cos^3(t)}{3} \right )+c$ 

$\displaystyle =-\sqrt{8}cos(t)+\frac{\sqrt{8}}{3}cos^3(t)+c$ 

     De $\displaystyle x=\sqrt{2}sen(t)$, se sigue que: $\displaystyle sen(t)=\frac{x}{\sqrt{2}}$ y en consecuencia: $\displaystyle t=arcsen(\frac{x}{2})$  luego: 

$\displaystyle \int \frac{x^3}{\sqrt{2-x^2}}dx=-\sqrt{8}cos\left ( arcsen\left ( \frac{x}{\sqrt{2}} \right ) \right )+\frac{\sqrt{8}}{3}\left [ cos\left ( arcsen\left ( \frac{x}{\sqrt{2}} \right ) \right ) \right ]^3$ 

$\displaystyle =-\sqrt{8}\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}+\frac{\sqrt{8}}{3}\left [ \sqrt{1-\frac{x^2}{2}} \right ]^3+c$ 

$\displaystyle =-2\sqrt{2-x^2}+\frac{1}{3}\sqrt{(2-x^2)^3}+c$ 

     En esta ultima parte hemos utilizado la formula:  $\displaystyle cos(arcsen(x))=\sqrt{1-x^2}$ 

• Si la integral es de la forma.  $\displaystyle \int f(x,\sqrt{a^2+x^2})dx; a>0$, mediante la sustitución $\displaystyle x=atan(\Theta ); dx=asec^2(\Theta )d\Theta$ dicha integral se transforma en una de la forma: $\displaystyle \int f(atan(\Theta) , asec(\Theta ))asec^2(\Theta )d\Theta$, puesto que: 

$\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+a^2tan^2(\Theta )}=a\sqrt{1+tan^2(\Theta )}=asec(\Theta )$ 

     Con la sustitución utilizada la integral se calcula fácilmente. 

• Si la integral es de la forma $\displaystyle \int f(x,\sqrt{x^2-a^2})dx; a>0$  mediante la sustitución: $\displaystyle x=asec(\Theta ); dx=asec(\Theta )d\Theta$, dicha integral se transforma en una de la forma: $\displaystyle \int f(asec(\Theta ), atan(\Theta ))asec(\Theta )d\Theta$, puesto que: $\displaystyle \sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{a^2sec^2(\Theta )-a^2}=a tan( \Theta )$.

     Ejemplo: 

• Calcular: $\displaystyle \int x^2\sqrt{x^2-a^2}dx$ 

Usando la sustitución: $\displaystyle x=asec(\Theta ); dx=asec(\Theta )tan(\Theta )$, se sigue que: 

$\displaystyle \int x^2\sqrt{x^2-a^2}dx=\int a^2sec^2(\Theta )\sqrt{a^2sec^2(\Theta )-a^2}asec(\Theta )tan(\Theta )d\Theta$ 

$\displaystyle =a^4\int sec^3(\Theta )tan^2(\Theta )d\Theta =a^4\int sec^3(\Theta )(sec^2(\Theta )-1)d\Theta$ 

$\displaystyle =a^4\left [ \int sec^5(\Theta )d\Theta -\int sec^3(\Theta )d\Theta \right ]$ 

$\displaystyle =a^4\left [ \frac{1}{4}tan(\Theta )sec^3(\Theta ) +\frac{3}{8}tan(\Theta )sec(\Theta )+\frac{3}{8}ln\left | sec(\Theta )+tan(\Theta ) \right |-\frac{1}{2}tan(\Theta )sec(\Theta )-\frac{1}{2}ln\left | sec(\Theta ) +tan(\Theta )\right |\right ]+c$ 

$\displaystyle =a^4\left [ \frac{1}{4} tan(\Theta )sec^3(\Theta )-\frac{1}{8}tan(\Theta )sec(\Theta )-\frac{1}{8}ln\left | sec(\Theta )+tan(\Theta ) \right |\right ]+c$ 

     Como: $\displaystyle x=asec(\Theta )\Rightarrow sec(\Theta )=\frac{x}{a}$, se sigue que: $\displaystyle tan(\Theta )=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$. se arma el triangulo rectángulo y se tiene que: 

$\displaystyle \int x^2\sqrt{x^2-a^2}dx=a^4\left \{ \left [ \frac{1}{4}\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}\frac{x^3}{a^3} \right ]-\frac{1}{8}\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}\frac{x}{a} -\frac{1}{8}ln\left | \frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} \right |\right \}+c$ 

$\displaystyle =\frac{1}{4}x^3\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{8}x\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^4}{8}ln\left | \frac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a} \right |+c$ 

INTEGRACION DE FUNCIONES HIPERBOLICAS

     La integración de este tipo de funciones se lo hace de manera análoga a la integración de funciones trigonométricas. 

    De igual manera deben recordarse las siguientes identidades de la trigonometría hiperbólica: 

• $\displaystyle cosh^2(x)-senh^2(x)=2$ 

• $\displaystyle senh^2(x)=\frac{1}{2}(cosh(2x)-1)$ 

• $\displaystyle cosh^2(x)=\frac{1}{2}(cosh(2x)+1)$ 

• $\displaystyle senh(x)cosh(x)=\frac{1}{2}sen(2x)$ 

Ejemplos: 

• Calcular: $\displaystyle \int senh^3(x)dx$ 

$\displaystyle \int senh^3(x)dx=\int senh^2(x)sen(x)dx$ 

$\displaystyle =\int (cosh^2(x)-1)senh(x)dx$ 

$\displaystyle =\int cosh^2(x)senh(x)dx-\int senh(x)dx$ 

$\displaystyle =\int cosh^2(x)d(cosh(x))-\int d(cosh(x))dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{3}cosh^3(x)-cosh(x)+c$ 

• Calcular: $\displaystyle \int \frac{dx}{senh^2(x)cosh^2(x)}$ 

$\displaystyle \int \frac{dx}{senh^2(x)cosh^2(x)}=\int \frac{dx}{\frac{1}{4}senh^2(2x)}=4\int cosh^2(2x)dx$ 

$\displaystyle =-2coth(2x)+c$ 

INTEGRALES DE UN POLINOMIO EN sen(x) Y cos(x)

     Es decir integrales de la forma: $\displaystyle \int sen^p(x)cos^q(x)dx$ 

PRIMER CASO. 

      Únicamente uno de los exponentes es impar. 

•  supongamos que p es impar,entonces: $\displaystyle p=2n+1; n\varepsilon \mathbb{Z}^+$  y entonces: 

 $\displaystyle \int sen^p(x)cos^q(x)dx=\int (sen(x))^{2n+1}cos^q(x)dx$ 

$\displaystyle =\int sen^{2n}(x)sen(x)cos^q(x)dx$  

$\displaystyle =\int (1-cos^2(x))^nsen(x)cos^q(x)dx$  

     Si hacemos u=cos(x) entonces se sigue que: du=-sen(x )dx y: $\displaystyle \int (1-cos^2(x))^nsen(x)cos^q(x)dx=-\int (1-u^2)^nu^qdu$ , integral que se calcula de manera sencilla.

•  si q es impa, $\displaystyle q=2n+1, n\varepsilon \mathbb{Z}^+$, entonces: 

 $\displaystyle \int sen^p(x)sen^q(x)dx=\int sen^p(x)cos(x)^\left \{ 2n+1 \right \}dx$ 

$\displaystyle =\int sen^p(x)(cos(x))^{2n+1}dx$ 

$\displaystyle =\int sen^p(x)(1-sen^2(x))^ncos(x)dx$ 

     Tomando u=sen(x), se tiene du = cos(x)dx y entonces: 

$\displaystyle \int sen^p(x)(1-sen^2(x))^ncos(x)dx=\int u^p(1-u^2)^ndu$ 

    Que de igual manera es facil calcularla por lo metodos vistos anteriormente. 

SEGUNDO CASO. - Los dos exponentes son impares, es decir: $\displaystyle p=2n+1, n\varepsilon \mathbb{Z}^+$  y $\displaystyle q=2m+1, m\varepsilon \mathbb{Z}^+$.

     En este caso se tiene: 

$\displaystyle \int sen^p(x)cos^q(x)dx=\int sen^{2n+1}(x)cos^{2m+1}(x)dx$ 

$\displaystyle =\int sen^{2n}(x)cos^{2m}(x)sen(x)cos(x)dx$ 

     como: $\displaystyle sen(x)cos(x)=\frac{1}{2}sen(2x)$, utilizando la sustitucion u=cos(2x) se  sigue que: du = -2sen(2x)dx = -4sen(x)cos(x)dx. y utilizando ademas las identidades trigonométricas

$\displaystyle sen^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}; cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}$, la ultima integral se transforma en : 

$\displaystyle \int sen^{2n}(x)cos^{2n}(x)sen(x)cos(x)dx=-\frac{1}{4}\int \left (\frac{1-u}{2} \right )^n\left ( \frac{1+u}{2} \right )^mdu$ 

: 

     La misma que se calcula fácilmente

TERCER CASO. - Los dos exponentes son pares es decir p=2n, q=2m se tiene que: 

$\displaystyle \int sen^p(x)cos^q(x)dx=\int sne^{2n}(x)cos^{2m}(x)dx$ 

$\displaystyle =\int (sen^2(x))^n(cos^2(x))^mdx$ 

     Utilizando las formulas $\displaystyle sen^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}; cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}$  se sigue que: 

$\displaystyle \frac{1}{2^{n+m}}\int (1-cos(2x))^n(1+cos(2x))^mdx$ 

     Desarrollando $\displaystyle (1-cos(2x))^n(1+cos(2x))^m$ y reemplazando el producto de dos cosenos por una suma de cosenos se obtiene el valor de la integral. 

Ejemplo: 

Clacular: $\displaystyle \int sen^4(x)cos^2(x)dx$ 

$\displaystyle \int sen^4(x)cos^2(x)dx=\int (sen^2(x))^2(cos^2(x))dx=\int \left ( \frac{1-cos(2x)}{2} \right )^2\left ( \frac{1+cos(2x)}{2} \right )dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{8}\int (1-cos^2(2x))(1-cos(2x))dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{8}\int \left [ 1-\frac{1+cos(4x)}{2} \right ](1-cos(2x))dx=\frac{1}{16}\int (1-cos(4x))(1-cos(2x))dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{16}\int [1-cos(4x)-cos(2x)+cos(4x)cos(2x)]dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{16}\int \left [ 1-cos(4x)-cos(2x)+\frac{1}{2}cos(2x)+\frac{1}{2}cos(6x) \right ]dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{16}\int \left [ x-\frac{1}{4}sen(2x)-\frac{1}{4}sen(4x)+\frac{1}{12}sen(6x) \right ]dx$ 

$\displaystyle =\frac{x}{16}-\frac{1}{64}sen(2x)-\frac{1}{64}sen(4x)+\frac{1}{192}sen(6x)+c$ 

. 

     

PRIMITIVA DE UN PRODUCTO DE SENOS Y COSENOS DE FUNCIONES LINEALES DE x

    En esta parte quere,ps calcular integrales indefinidas de la forma: 

• $\displaystyle \int sen(ax+b)sen({a}'x+{b}')dx$ 

• $\displaystyle \int sen(ax+b)cos({a}'x+{b}')dx$ 

• $\displaystyle \int cos(ax+b)cos({a}'x+{b}')dx$ 

   Para dicho calculose aplican las formulas siguientes: 

• $\displaystyle sen(A)sen(B)=\frac{1}{2}\left [ cos(A-B)-cos(A+B) \right ]$ 

• $\displaystyle sen(A)cos(B)=\frac{1}{2}\left [ sen(A-B)+sen(A+B) \right ]$ 

• $\displaystyle cos(A)cos(B)=\frac{1}{2}\left [ cos(A-B)+cos(A+B) \right ]$ 

   Las mismas que nos permiten reemplazar en un producto de senos o de cosenos o de senos y cosenos por una suma o diferencia de senos o de cosenos.

Ejemplo: 

• calcular: $\displaystyle \int sen(2x)cos(3x)sen(5x)dx$ 

       En este caso: $\displaystyle cos(x)cos(3x)=\frac{1}{2}[cos(x-3x)+cos(x+3x)]=\frac{1}{2}[cos(2x)+cos(4x)]$ 

     $\displaystyle cos(x)cos(3x)sen(5x)=\frac{1}{2}[cos(2x)+cos(4x)]sen(5x)$  

      $\displaystyle cos(x)cos(3x)sen(5x)=\frac{1}{2}[cos(2x)sen(5x)+cos(4x)sen(5x)$ 
     
     $\displaystyle cos(x)cos(3x)sen(5x)=\frac{1}{4}[sen(5x-2x)+sen(2x+5x)+sen(5x-4x)+sen(5x+4x)]$ 

     $\displaystyle cos(x)cos(3x)sen(5x)=\frac{1}{4}[sen(3x)+sen(7x)+sen(x)+sen(9x)]$ 

En consecuencia: 

    $\displaystyle \int cos(x)cos(3x)sen(5x)=\int \frac{1}{4}[sen(3x)+sen(7x)+sen(x)+sen(9x)]dx$ 

    $\displaystyle = \frac{1}{4}\left [\int sen(3x)dx +\int sen(7x)dx+\int sen(x)dx+\int sen(9x)dx\right ]$ 

    $\displaystyle = \frac{1}{4}\left [ -cos(x)-\frac{1}{3}cos(3x)-\frac{1}{7}cos(7x)-\frac{1}{9}cos(9x) \right ]+c$ 

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

     
     En esta parte estudiaremos las integrales de la forma: $\displaystyle \int sen^n(x)dx; \int cos^n(x)dx; \int tan^n(x)dx; \int sec^n(x)dx$ 

   Para la resolución de este tipo de integrales se usan las identidades trigonométricas siguientes: 

• $\displaystyle sen^2(x)+cos^2(x)=1$ 

• $\displaystyle 1+tan^2(x)=sec^2(x)$ 

• $\displaystyle 1+cot^2(x)=csc^2(x)$ 

• $\displaystyle cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}$ 

• $\displaystyle sen^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}$ 

• $\displaystyle sen(2x)=2sen(x)cos(x)$  

 

     Integral de la forma: $\displaystyle \int sen^n(x)dx$ 

       Para este tipo de integrales vamos aconsiderar 2 casos:  

1.  Si n es par: entonces n es de la forma $\displaystyle 2q; q\varepsilon \mathbb{Z}$; en cuyo caso se procede de la siguinte manera:

 $\displaystyle \int sen^n(x)dx=\int sen^{2q}(x)dx=\int (sen^2(x))^qdx$  

$\displaystyle =\int \left [ \frac{1-cos(2x)}{2} \right ]^qdx$ 

Ejemplo:

• Calcular: $\displaystyle \int sen^6(x)dx$ 

$\displaystyle \int sen^6(x)dx=\int (sen^2(x))^3dx=\int \left [ \frac{1-cos(2x)}{2} \right ]^3dx$ 

 

$\displaystyle =\frac{1}{8}\int [1-3cos(2x)+3cos^2(2x)-cos^3(2x)]dx$  

 

$\displaystyle =\frac{1}{8}\left [ \int dx-3\int cos(2x)dx+3\int cos^2(2x)dx-\int cos^3(2x)dx \right ]$  

 

$\displaystyle =\frac{1}{8}x-\frac{3}{16}sen(2x)+\frac{3}{8}\int \frac{1-cos(4x)}{2}dx-\frac{1}{8}\int (1-sen^2(2x))*cos(2x)dx$ 

 

$\displaystyle =\frac{1}{8}X-\frac{3}{16}sen(2x)+\frac{3}{16}x+\frac{3}{64}sen(4x)-\frac{1}{8}\left [ \int cos2xdx-\int sen^2(2x)cos(2x)dx \right ]$ 

 

$\displaystyle =\frac{15}{16}x-\frac{3}{16}sen(2x)+\frac{3}{64}sen(4x)-\frac{1}{16}sen(2x)+\frac{1}{16\int sen^2(2x)d(sen(2x))}$ 

 

$\displaystyle =\frac{5}{16}x-\frac{1}{4}sen(2x)+\frac{3}{64}sen(4x)+\frac{1}{48}sen^2(2x)+c$  

 

 

   2. Si n es impar entonces: $\displaystyle n=2q+1;q\varepsilon \mathbb{Z}$, en este caso se procede: 

 

 $\displaystyle \int sen^n(x)dx=\int sen^{2q+1}(x)dx=\int sen^{2q}(x)sen(x)dx$ 

$\displaystyle =\int (sen^2(x))^qsen(x)dx$ 

$\displaystyle =-\int (1-cos^2(x))^qd(cos(x))$ 

   Integral que se la puede resolver de manera muy sencilla con los metodo anteriores de integracion. 

Integral de la forma: $\displaystyle \int tan^n(x)dx$ 

1.  Si n es impar; $\displaystyle n=2q+1; q\varepsilon \mathbb{Z}$ 

$\displaystyle \int tan^n(x)dx=\int (tan(x))^{2q+1}dx=\int (tan^2(x))^qtan(x)dx$ 

 

$\displaystyle =\int (sec^2(x)-1)^qtan(x)dx$  

 

   Integral que se la calcula facilmente desarrollando la expresión $\displaystyle (sec^2(x)-1)^q$  y recordando que: $\displaystyle d(sec(x))=sec(x)tan(x)dx$ 

 

Ejemplo: 

•  $\displaystyle \int tan^5(x)dx$ 

$\displaystyle \int tan^5(x)dx=\int (tan^2(x))^2dx$ 

 

$\displaystyle =\int (sec^2(x)-1)^2tan(x)dx$  

 

$\displaystyle =\int sec^4(x)tan(x)dx-2\int sec^2(x)tan(x)dx+\int tan(x)dx$  

 

$\displaystyle =\int sec^3(x)d(sec(x))-2\int sec(x)d(sec(x))+\int \frac{sen(x)}{cos(x)}dx$  

 

$\displaystyle =\frac{1}{4}sec^4(x)-sec^2(x)-ln\left | cos(x) \right |+c$  

 

    Nota:para calcular $\displaystyle \int cot^n(x)dx$ se procede de manera similar. 

 

 

    2. Si n es par; $\displaystyle n=2q; q\varepsilon \mathbb{Z}$ en cuyo caso: 

 

$\displaystyle \int tan^n(x)dx=\int tan^{2q}(x)dx=\int (tan^2(x))^q$  

 

$\displaystyle =\int (sec^2(x)-1)^qdx$  

 

     Desarrollando $\displaystyle (sec^2(x)-1)^q$  y recordando que: $\displaystyle d(tan(x))=sec^2(x)dx$  se calcula de manera sencilla la integral. 

 

     3. paea calcular $\displaystyle \int sec^n(x)dx$  o $\displaystyle \int csc^n(x)dx$ cuando n es un entero positivo. utilizando integracion por partes se establecen formulas de  reduccionasi: 

 

$\displaystyle \int sec^n(x)dx=tan(x)sec^{n-2}(x)-(n-2)\int sec^{n-2}(x)tan^2(x)dx$  

 

$\displaystyle =tan(x)sec^{n-2}(x)-(n-2)\int (sec^2(x)-1)sec^{n-2}(x)dx$  

 

$\displaystyle =tan(x)sec^{n-2}(x)-(n-2)\int sec^n(x)dx+(n-2)\int sec^{n-2}(x)dx$  

 

     Se sigue entonces que: $\displaystyle (n-2)\int sec^n(x)dx+\int sec^n(x)dx=tan(x)sec^{n-2}(x)+(n-2)\int sec^{n-2}(x)dx$  donde resulta que: 

 

$\displaystyle \int sec^n(x)dx=\frac{1}{n-1}tan(x)sec^{n-2}(x)+\frac{n-2}{n-1}\int sec^{n-2}(x)dx$ 

 

 

INTEGRACION DE $\frac{1}{(X^2+1)^n}$

     Se va a estudiar el caso general de la integral de la forma: $\int \frac{1}{(X^2+1)^n}dx$ 

• Si n=1, sabemos que: $\int \frac{1}{(x^2+1)}dx=arctan(x)+c$ 

• Si n>1, usaremos la integracion por partes. llamaremos: $I_{n}=\int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$  y consideremos: $I_{n-1}$  para obtener el valor de $I_{n}$ en funcion de esta ultima, pues como veremos, al integrar por partes $I_{n-1}$ sube el grado apareciendo entonces el valor de: $I_{n}$.

 $\displaystyle I_{n-1}=\int \frac{dx}{(x^2+1)^{n-1}}$ 

    Entonces: $\displaystyle u=\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}; dv=dx$  luego: $\displaystyle du=-(n-1)\frac{2x}{(x^2+1)^n}dx; v=x$ , se tiene entonces: 

$\displaystyle I_{n-1}=\int \frac{dx}{(x^2+1)^{n-1}}dx=\frac{x}{(x^2+1)}+\int \frac{2(n-1)x^2}{(x^2+1)^n}dx$ 

$\displaystyle =\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{x^2}{(x^2+1)^n}dx$  

$\displaystyle =\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{x^2+1-1}{(x^2+1)^n}dx$ 

$\displaystyle =\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}dx-2(n-1)\int \frac{1}{(x^2+1)}dx$ 

   Es decir que: 

$\displaystyle I_{n-1}=\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+2(n-1)I_{n-1}-2(n-1)I_{n}$ 

$\displaystyle 2(n-1)I_{n}=\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+[2(n-1)-1]I_{n-1}$ 

$\displaystyle 2(n-1)I_{n}=\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1}$ 

   Y finalmente obtenemos: 

$\displaystyle \int \frac{1}{(x^2+1)^n}=\frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}dx; n>1$

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES

     A la expresión: $\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde Py Q son polinómios se denomina funcion racional. 

     Si grado $P\geqslant$ grado Q, al realizar la división de los polinomios se obtiene: $P=QH+R$, con grado R < grado Q. donde la ultima desigualdad es equivalente: 

$\frac{P(x)}{Q(x)}=H(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}$ 

     con grado R(x) < grado Q(x).

    

Ejemplo: 

•  $\frac{x^3+3x^2-5}{x^2+x+2}=(x+2)+\frac{-4x-9}{x^2+x+2}$ 

      Def: Todo polinomio con coeficientes reales siempre se puede representar como un producto de polinomios irreducibles (en R) lineales o cuadraticos con coeficientes reales. 

     Def: Cualquier fracción propia $\frac{P(x)}{Q(x)}$, es decir: (grad P(x)<grad Q(x)), se puede descomponer en la suma de fracciones parciales como sigue: 

     Basandose en estas definiciones se aplica en 4 casos diferentes a la resolución de integrales, a continuación se exponen los casos: 

CASO 1. - El denominador se puede expresar como un producto de factores lineales distintos. Entonces la descomposicion en fracciones parciales de $\frac{P(x)}{Q(x)}$  contiene terminos de la forma: 

     $\frac{A}{ax+b}$  donde A es una constante. para mejor entendimiento se presenta el siguiente ejemplo: 

•  Calcular: $\int \frac{x-2}{(x-1)(x+2)}dx$ 

   Si consideramos la funcion racional: $\frac{x-2}{(x-1)(x+2)}$ tenemos por la definicion anterior que se puede descomponer como: $\frac{x-2}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$  de donde: 

$\frac{x-2}{(x-1)(x+2)}=\frac{(x+2)A+(x-1)B}{(x-1)(x+2)}$  

   Siendo A y B valores a determinarse. de la ultima igualdad se sigue que: 

$x-2=(x+2)A+(x-1)B$ 

   Para encontrar valores de A y B existen dos procedimientos: 

1. Igualar los coeficientes de los terminos correspondientes de los polinomios. Es decir de $x-2=(x+2)A+(x-1)B$ se sigue que: $x-2=(A+B)x+(2A-B)$ , lo cual a su vez implica que: $A+B=1$ y $2A-B=-2$, sumando las dos ecuaciones miembro a miembro se obtiene: $A=\frac{1}{3}$, y al reemplazar el valor de A en cualquiera de las dos ecuaciones se sigue que: $B=\frac{4}{3}$.

          Es decir que la fraccion original se puede expresar como: 

$\frac{x-2}{(x-1)(x+2)}=\frac{-\frac{1}{3}}{x-1}+\frac{\frac{4}{3}}{x+2}$  

      2. Dar valores arbitrarios a la variable para hallar A y B, preferiblemente se dan valores para   los cuales se anulan los factores lineales distintos, asi en el ejemplo tenemos: $x-2=A(x+2)+B(x-1)$.

• si x=1: entonces $1-2=A(1+2)+B(1-1)\Rightarrow -1=3A\Rightarrow A=-\frac{1}{3}$ 
• si x=-2; entonces $-2-2=A(-2+2)+B(-2-1)\Rightarrow -4=-3B\Rightarrow B=\frac{4}{3}$ 

   En consecuencia: 

$\int \frac{x-2}{(x-1)(x+2)}dx=-\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x-1}+\frac{4}{3}\int \frac{dx}{x+2}$ 

$=-\frac{1}{3}ln(x-1)+\frac{4}{3}ln(x+2)+c$ 

$=ln(\frac{(x+2)^4}{x-1})^{\frac{1}{3}} +c$ 

      En general se tiene: 

 $\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x)}{(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})}=\frac{A_{1}}{x-a^{1}}+\frac{A_{2}}{x-a_{2}}+...+\frac{A_{n}}{x-a_{n}}$ 

$\int \frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^{n}\int \frac{A_{i}}{x-a_{i}dx}=\sum_{i=1}^{n}A_{i}ln\left | x-a_{i} \right | +c$

CASO 2. - Cuando el denominador se puede expresar como el producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

   Ejemplo: 

•  Calcular: $\int \frac{x+1}{(x-1)(x+2)^{2}}dx$ 

   En este caso aplicamos lo siguiente: 

$\frac{x+1}{(x-1)(x+2)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x+2)^{2}}+\frac{C}{x+2}$ 

$=\frac{A(x+2)^{2}+B(x-1)+C(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)^2}$ 

   Donde se sigue que: 

$x+1=A(x+2)^2+B(x-1)+C(x-1)(x+2)$ 

Deter,inamos los valores de A B y C de la siguiente manera:

• Si x=2 entonces: -1= -3; luego: B=1/3

• Si x=1 entonces: 2=9A, luego: A=2/9

• Si x=0 entonces: 1= 4A - B - 2C, luego: $C=\frac{1+B-4A}{-2}=-\frac{2}{9}$ 

   En consecuencia: 

 

$\int \frac{x+1}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{2}{9}\int \frac{dx}{x-1}+\frac{1}{3}\int \frac{dx}{(x+2)^2}-\frac{2}{9}\int \frac{dx}{x+2}$  

 

$=\frac{2}{9}ln\left | x-1 \right |+\frac{1}{3}\int (x+2)^{-2}dx-\frac{2}{9}ln\left | x+2 \right |$  

 

$=\frac{2}{9}ln\left | \frac{x-1}{x+2} \right |-\frac{1}{3(x+2)}$  

 

     CASO 3: El denominador tiene factores cuadraticos irreducibles distintos. 

Nota: $ax^2+bx+c$ , no se puede factorizar en $\mathbb{R}$  si: $b^2-4ac< 0$ ; es decir que: $ax^2+bx+c$  es irreducible si: $b^2-4ac< 0$ 0

•  Calcular: $\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)}dx$ 

   En este caso se procede de la siguiente manera:

 

$frac{x}{(x+1)(x^2+1)}dx=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+c}{x^2+1}$ 

 

$=\frac{A(x^2+1)+(Bx+c)(x+1)}{(x+1)(x^2+1)}$  

   De donde:

$x=A(x^2+1)+(Bx+c)(x+1)$

• Si x=-41 entonces: -1 = 2A + (-B+C)(0), luego: -1=2A, donde: A= -1/2

• Si x=0 entonces: 0= A + C

• Si x = 1, entonces: 1= 2A + 2B+2C

   Como: A= -1/2 reemplazamos y tenemos que: C = -A = 1/2; es decir que: C= 1/2

   Se sigue que: $B=\frac{1-2A-2C}{2}\Rightarrow B=\frac{1}{2}$.

   Por lo tanto: 

$\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)}dx=\int \frac{-\frac{1}{2}}{x+1}dx+\int \frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{x^2+1}dx$ 

$=-\frac{1}{2}ln\left | x+1 \right |+\frac{1}{2}\int \frac{x+1}{x^2+1}dx$ 

$=-\frac{1}{2}ln\left | x+1 \right |+\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2+1}$ 

$=-\frac{1}{2}ln\left | x+1 \right |+\frac{1}{2}ln\left | x^2+1 \right |+\frac{1}{2}arctan(x)+c$ 

     CASO 4. - El denominador tiene factores cuadraticos irreducibles algunos de los cuales se repiten.

 

    Ejemplo: 

•  Calcular: $\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)^2}$ 

   Para este caso se procede de la siguiente manera: 

$\frac{x}{(x+1)(x^2+1)^2}=\frac{A}{x+14}+\frac{Bx+c}{(x^2+1)^2}+\frac{Dx+E}{x^2+1}$ 

$=\frac{(x^2+1)^2A+(Bx+C)(x+1)+(Dx+E)(x^2+1)(x+1)}{(x+1)(x^+1)^2}$ 

   De donde: 

$x=A(x^2+1)^2+(Bx+C)(x+1)+(Dx+E)(x^3+x+x^2+1)$ 

$x=(A+D)x^4+(E+D)x^3+(2A+B+E+D)x^2+(B+C+D+E)x+(A+C+E)$ 

   Luego tenemos el sistema de ecuaciones: 

              A+D=0

             E+D=0

2A+B+E+D=0

 B+C+D+E=1

      A+C+E=1

    Donde tras resolver dicho sistema por cualquier metodo que utilicemos se tiene: 

  C=1/2=B

A=-1/4=E

     D=1/4

     Es decir: 

$\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)}dx=-\frac{1}{4}\int \frac{dx}{x+1}+\frac{1}{2}\int \frac{x+1}{(x^2+1)^2}dx+\frac{1}{4}\int \frac{x-1}{x^2+1}dx$ 

 

   Calcularesmos por separado: 

• $\int \frac{dx}{x+1}=ln\left | x+1 \right |+c$ 

• $\int \frac{x-1}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx-\int \frac{dx}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}ln(x^+1)-arctan(x)+C$ 

• $\int \frac{x+1}{(x^2+1)^2}dx=\int \frac{x}{(x^2+1)^2}dx+\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$  

1. $\int \frac{x}{(x^2+1)^2}dx=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{2u}+c=-\frac{1}{2(x^2+1)}+c$ 
2. $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=\int \frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^2}dx=\int \frac{dx}{x^2+1}-\int \frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx$  

         $arctan(x)-\int \frac{x^2}{(x^2+1)^2}$ 

 

   la integral: $\int \frac{x^2dx}{(x^2+1)^2}$ , la calcularemos por partes, tomando para ello: $u=x; dv=\frac{xdx}{(x^2+1)^2}$  de donde: $du=dx; v=\frac{-1}{2(x^2+1)}$, luego: 

 

$\int \frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx=\frac{-x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{(x^2+1)}$  

 

$=\frac{-x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctan(x)+c$  

 

entonces: $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctan(x)+c$ 

 

Entonces resulta: 

 

$\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)^2}dx=-\frac{1}{4}ln\left | x+1 \right |+\frac{1}{2}(\frac{x-1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctan(x))+\frac{1}{4}(\frac{1}{2}ln(x^2+1)-arctan(x))+c$ 

$=\frac{1}{4}(ln\left | \frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} \right |+\frac{x-1}{x^2+1})+c$