INTEGRAL DEFINIDA Y TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO.

    Como se mencionó la integral nos ayuda a resolver el problema de encontrar el area bajo la curva: $y=f(x)$ siendo esta area: 

$\int_{a}^{b}f(x)dx$  

   Donde a,b son los limites de la integral y los limites en el eje x, es decir el intervalo en el cual se calcula el area bajo la curva como se muestra a continuacion: 

   Es decir la integral: \int_{a}^{b}f(x)dx nos permite encontrar el area subrayada en la imagen, siendo este un valo real. 

   PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.- 

     Sea f integrable en $]a,x[ \forall a\leqslant x\leqslant b$ y sea:  $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$  entonces: si f es continua en xse tiene que: ${F}'(x)=f(x)$.

Ejemplos: 

•      Sea: $F(x)=\int_{0}^{x}t^2dt.$  hallar: ${F}'(x)$ 

   En este ejemplo tenemos que: $f(t)=t^2,$  la cual es una funcion continua, luego: $f(x)=x^2$ y por el primer teorema fundamental del calculo: ${F}'(x)=x^2$ .

• Sea: $F(x)=\int_{0}^{x^5}\frac{1}{1+sen^2(t)}dt$ , hallar: ${F}'(x)$ 

   En primer lugar, F es una funcion compuesta, ya que si: $g(x)=x^5; h(x)=\int \frac{1}{1+sen^2(t)}dt$ , se tiene que: $F(x)=h(g(x))$ , por la regla de la cadena tenemos: 

${F}'(x)={h}'(g(x)){g}'(x)$ . Como $h(x)=\frac{1}{1+sen^2(x)}$  se sigue que: ${h}'(g(x))={h}'(x^5)=\frac{1}{1+sen^2(x^5)}$  y como: ${g}'(x)=5x^4$  se tiene finalmente que: 

${F}'(x)=\frac{5x^4}{1+sen^2(x^5)}$

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO. 

  Def: Sea f continua en: $]a,b[$  y sea P una primitiva cualquiera de f en $]a,b[$ , entonces para cada $x_{0}\varepsilon ]a,b[$ se tiene: 

$P(x)-P(x_{0})=\int_{x_{0}}^{x}f(t)dt$ 

   Ahora hacemos: $x_{0}=a; x=b$  y se tiene: 

$\int_{a}^{b}f(t)dt=P(b)-P(a)$ 

     Ejemplos: 

• Evaluar $\int_{0}^{\pi }sen(t)dt$

En primer lugar vamos a encontrar una primitiva F que satisfaga: $\int sen(t)dt$ , y como se vio anteriormente tomamos: $F=-cos(t)$ . por el segundo teorema fundamental del calculo: 

$\int_{0}^{\pi }sen(t)dt=F(\pi )-F(0)$ 

$=-cos(\pi )-(-cos(0))=cos(0)-cos(\pi )=1-(-1)=2$ 

• Evaluar: \int_{1}^{10}\frac{1}{x}dx

Como en el ejemplo anterior buscamos: F que satisfaga $\int \frac{1}{x}dx$ , y tal funcion podemos considerar: $F=ln(x)$ , y por el segundo teorema fundamental del calculo: 

$\int_{1}^{10}\frac{1}{x}dx=F(10)-F(1)$ 

$=ln(10)-ln(1)=ln(10)$