INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

     
     En esta parte estudiaremos las integrales de la forma: $\displaystyle \int sen^n(x)dx; \int cos^n(x)dx; \int tan^n(x)dx; \int sec^n(x)dx$ 

   Para la resolución de este tipo de integrales se usan las identidades trigonométricas siguientes: 

• $\displaystyle sen^2(x)+cos^2(x)=1$ 

• $\displaystyle 1+tan^2(x)=sec^2(x)$ 

• $\displaystyle 1+cot^2(x)=csc^2(x)$ 

• $\displaystyle cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}$ 

• $\displaystyle sen^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}$ 

• $\displaystyle sen(2x)=2sen(x)cos(x)$  

 

     Integral de la forma: $\displaystyle \int sen^n(x)dx$ 

       Para este tipo de integrales vamos aconsiderar 2 casos:  

1.  Si n es par: entonces n es de la forma $\displaystyle 2q; q\varepsilon \mathbb{Z}$; en cuyo caso se procede de la siguinte manera:

 $\displaystyle \int sen^n(x)dx=\int sen^{2q}(x)dx=\int (sen^2(x))^qdx$  

$\displaystyle =\int \left [ \frac{1-cos(2x)}{2} \right ]^qdx$ 

Ejemplo:

• Calcular: $\displaystyle \int sen^6(x)dx$ 

$\displaystyle \int sen^6(x)dx=\int (sen^2(x))^3dx=\int \left [ \frac{1-cos(2x)}{2} \right ]^3dx$ 

 

$\displaystyle =\frac{1}{8}\int [1-3cos(2x)+3cos^2(2x)-cos^3(2x)]dx$  

 

$\displaystyle =\frac{1}{8}\left [ \int dx-3\int cos(2x)dx+3\int cos^2(2x)dx-\int cos^3(2x)dx \right ]$  

 

$\displaystyle =\frac{1}{8}x-\frac{3}{16}sen(2x)+\frac{3}{8}\int \frac{1-cos(4x)}{2}dx-\frac{1}{8}\int (1-sen^2(2x))*cos(2x)dx$ 

 

$\displaystyle =\frac{1}{8}X-\frac{3}{16}sen(2x)+\frac{3}{16}x+\frac{3}{64}sen(4x)-\frac{1}{8}\left [ \int cos2xdx-\int sen^2(2x)cos(2x)dx \right ]$ 

 

$\displaystyle =\frac{15}{16}x-\frac{3}{16}sen(2x)+\frac{3}{64}sen(4x)-\frac{1}{16}sen(2x)+\frac{1}{16\int sen^2(2x)d(sen(2x))}$ 

 

$\displaystyle =\frac{5}{16}x-\frac{1}{4}sen(2x)+\frac{3}{64}sen(4x)+\frac{1}{48}sen^2(2x)+c$  

 

 

   2. Si n es impar entonces: $\displaystyle n=2q+1;q\varepsilon \mathbb{Z}$, en este caso se procede: 

 

 $\displaystyle \int sen^n(x)dx=\int sen^{2q+1}(x)dx=\int sen^{2q}(x)sen(x)dx$ 

$\displaystyle =\int (sen^2(x))^qsen(x)dx$ 

$\displaystyle =-\int (1-cos^2(x))^qd(cos(x))$ 

   Integral que se la puede resolver de manera muy sencilla con los metodo anteriores de integracion. 

Integral de la forma: $\displaystyle \int tan^n(x)dx$ 

1.  Si n es impar; $\displaystyle n=2q+1; q\varepsilon \mathbb{Z}$ 

$\displaystyle \int tan^n(x)dx=\int (tan(x))^{2q+1}dx=\int (tan^2(x))^qtan(x)dx$ 

 

$\displaystyle =\int (sec^2(x)-1)^qtan(x)dx$  

 

   Integral que se la calcula facilmente desarrollando la expresión $\displaystyle (sec^2(x)-1)^q$  y recordando que: $\displaystyle d(sec(x))=sec(x)tan(x)dx$ 

 

Ejemplo: 

•  $\displaystyle \int tan^5(x)dx$ 

$\displaystyle \int tan^5(x)dx=\int (tan^2(x))^2dx$ 

 

$\displaystyle =\int (sec^2(x)-1)^2tan(x)dx$  

 

$\displaystyle =\int sec^4(x)tan(x)dx-2\int sec^2(x)tan(x)dx+\int tan(x)dx$  

 

$\displaystyle =\int sec^3(x)d(sec(x))-2\int sec(x)d(sec(x))+\int \frac{sen(x)}{cos(x)}dx$  

 

$\displaystyle =\frac{1}{4}sec^4(x)-sec^2(x)-ln\left | cos(x) \right |+c$  

 

    Nota:para calcular $\displaystyle \int cot^n(x)dx$ se procede de manera similar. 

 

 

    2. Si n es par; $\displaystyle n=2q; q\varepsilon \mathbb{Z}$ en cuyo caso: 

 

$\displaystyle \int tan^n(x)dx=\int tan^{2q}(x)dx=\int (tan^2(x))^q$  

 

$\displaystyle =\int (sec^2(x)-1)^qdx$  

 

     Desarrollando $\displaystyle (sec^2(x)-1)^q$  y recordando que: $\displaystyle d(tan(x))=sec^2(x)dx$  se calcula de manera sencilla la integral. 

 

     3. paea calcular $\displaystyle \int sec^n(x)dx$  o $\displaystyle \int csc^n(x)dx$ cuando n es un entero positivo. utilizando integracion por partes se establecen formulas de  reduccionasi: 

 

$\displaystyle \int sec^n(x)dx=tan(x)sec^{n-2}(x)-(n-2)\int sec^{n-2}(x)tan^2(x)dx$  

 

$\displaystyle =tan(x)sec^{n-2}(x)-(n-2)\int (sec^2(x)-1)sec^{n-2}(x)dx$  

 

$\displaystyle =tan(x)sec^{n-2}(x)-(n-2)\int sec^n(x)dx+(n-2)\int sec^{n-2}(x)dx$  

 

     Se sigue entonces que: $\displaystyle (n-2)\int sec^n(x)dx+\int sec^n(x)dx=tan(x)sec^{n-2}(x)+(n-2)\int sec^{n-2}(x)dx$  donde resulta que: 

 

$\displaystyle \int sec^n(x)dx=\frac{1}{n-1}tan(x)sec^{n-2}(x)+\frac{n-2}{n-1}\int sec^{n-2}(x)dx$