DERIVACION IMPLICITA

      Hasta ahora se ha trabajado con expresiones tales como: $y=\frac{x^2 + 2x}{2x-1}$ ; $y=x^4 + 3x^2 +1$  entre otras, donde la variable dependiente (y) esta expresada en terminos de la variable dependiente (x), donde se dice que (y) esta dada explicitamente como funcion de (x).

     Sin embargo hay muchos problemas que conducen a ecuaciones que relacionan dos variables, de manera que ninguna de ellas se encuentra despejada. como por ejemplo: $x^3 y^2 + xy^3=1$ , se dice que cualquiera de las variables es una funcion implicita de la otra. en ciertas ocasiones existe la posibilidad de despejarla, en otras resulta imposible o resultan en expresiones muy complicadas, de manera que resulta tedioso calcular su derivada. para tal caso existe una tecnica conocida como Derivacion Implicita la caul no es mas que la aplicacion de la regla de la cadena para derivadas. como vemos en el ejemplo siguiente: 

             Hallar:  $\frac{dy}{dx}$ si: $x^2y^3-2xy=6x+6y+1$ donde (y) una funcion implicita en funcion de (x) es decir: y = f(x) de tal manera que se rescribe la ecuacion: $x^2[f(x)]^3-2xf(x)=6x+6f(x)+1$ derivando los dos miembros termino a termino tenemos: 

                                $2x[f(x)]^3+3x^2[f(x)]^2{f}'(x) -2f(x)-2x{f}'(x)=6+{f}'(x)$  
     
           Como: $y=f(x)$ ; ${f}'(x)= \frac{dy}{dx}$, sustituyendo tenemos: 

$2xy^3+ex^2y^2{y}'-2y -2x{y}'=6+{y}'$  

${y}'(3x^2y^2-2x-1)=2y-2xy^3+6$ 

${y}'=\frac{dy}{dx}=\frac{2y-2xy^3+6}{3x^2y^2-2x-1}$ 

      como vemos esta funcion derivada depende de las dos variables (x) e (y), de manera que si se nos pide calcular la derivada en el punto (0,-1), lo unico que debemos hacer es lo siguiente: 

${y}'=\frac{2(-1)-2(-1)(0)^3+6}{3(-1)^2(0)^2-2(-1)-1}$ 

${y}'=\frac{2-0+6}{0-0-1}=-4$