PRIMITIVA DE UN PRODUCTO DE SENOS Y COSENOS DE FUNCIONES LINEALES DE x

    En esta parte quere,ps calcular integrales indefinidas de la forma: 

• $\displaystyle \int sen(ax+b)sen({a}'x+{b}')dx$ 

• $\displaystyle \int sen(ax+b)cos({a}'x+{b}')dx$ 

• $\displaystyle \int cos(ax+b)cos({a}'x+{b}')dx$ 

   Para dicho calculose aplican las formulas siguientes: 

• $\displaystyle sen(A)sen(B)=\frac{1}{2}\left [ cos(A-B)-cos(A+B) \right ]$ 

• $\displaystyle sen(A)cos(B)=\frac{1}{2}\left [ sen(A-B)+sen(A+B) \right ]$ 

• $\displaystyle cos(A)cos(B)=\frac{1}{2}\left [ cos(A-B)+cos(A+B) \right ]$ 

   Las mismas que nos permiten reemplazar en un producto de senos o de cosenos o de senos y cosenos por una suma o diferencia de senos o de cosenos.

Ejemplo: 

• calcular: $\displaystyle \int sen(2x)cos(3x)sen(5x)dx$ 

       En este caso: $\displaystyle cos(x)cos(3x)=\frac{1}{2}[cos(x-3x)+cos(x+3x)]=\frac{1}{2}[cos(2x)+cos(4x)]$ 

     $\displaystyle cos(x)cos(3x)sen(5x)=\frac{1}{2}[cos(2x)+cos(4x)]sen(5x)$  

      $\displaystyle cos(x)cos(3x)sen(5x)=\frac{1}{2}[cos(2x)sen(5x)+cos(4x)sen(5x)$ 
     
     $\displaystyle cos(x)cos(3x)sen(5x)=\frac{1}{4}[sen(5x-2x)+sen(2x+5x)+sen(5x-4x)+sen(5x+4x)]$ 

     $\displaystyle cos(x)cos(3x)sen(5x)=\frac{1}{4}[sen(3x)+sen(7x)+sen(x)+sen(9x)]$ 

En consecuencia: 

    $\displaystyle \int cos(x)cos(3x)sen(5x)=\int \frac{1}{4}[sen(3x)+sen(7x)+sen(x)+sen(9x)]dx$ 

    $\displaystyle = \frac{1}{4}\left [\int sen(3x)dx +\int sen(7x)dx+\int sen(x)dx+\int sen(9x)dx\right ]$ 

    $\displaystyle = \frac{1}{4}\left [ -cos(x)-\frac{1}{3}cos(3x)-\frac{1}{7}cos(7x)-\frac{1}{9}cos(9x) \right ]+c$