CALCULO DE LIMITES INDETERMINADOS

     Otra aplicación del cálculo diferencial es el cálculo de límites indeterminados por ejemplo si deseamos calcular: 

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+ax)}{x}$ 

    Al reemplazar x con cero obtenemos una expresion del tipo: 0/0, que como se habia visto se denomina una forma indeterminada. con las tecnicas para resolver limites vistas anteriormente nos resulta posible el calculo de este limite. 
  
    Regla 1 de L´ Hospital
        
   Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo abierto I que contiene el punto a; excepto posiblemente, no derivables en a y sea ${g}'(x)\neq 0$  para todo $x\neq a$ de I. si: 

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ 

y: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}=L$  entonces: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$

Regla 2 de L´Hospital 
   
   Si f y g son dos funciones derivables en un intervalo abierto I, excepto en un punto a de dicho intervalo, y si ${g}'(x)\neq 0$ para todo $x\neq a$ de I y si: 

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty$  

 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}=L$  entonces: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{{f}(x)}{{g}(x)}=L$ 

Forma indeterminada $0*\infty$ 

   Si: $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$  y $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty$  entonces: $\lim_{x\rightarrow a}f(x)*g(x)=0*\infty$ en este caso escribiremos el limite: 

 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$  y como: $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty$  

entonces: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{g(x)}=0$ 

 entonces: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$  toma la forma indeterminada 0/0

   Tambien podemos escribir ellimite: $\lim_{x\rightarrow a}f(x)*g(x)$  como: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}$ , el cual toma la forma indeterminada $\frac{\infty }{\infty }$ , las cuales se resuelven por cualquiera de los dos primeros casos. 

Ejemplo: 

    Calcular: $\lim_{x\rightarrow a}(x^2lnx^2)$ 

este limite adopta la forma: $0*\infty$ ; luego podemos escribirlo como: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{ln(x^2)}{\frac{1}{x^2}}$  

   Donde: ${(ln(x^2))}'= \frac{2}{x}$  ; ${(\frac{1}{x^2})}'=-\frac{2}{x^3}$ , entonces: 

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{ln(x^2)}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow a}-x^2=0$

 Formas indeterminadas ($0^0, 1^\infty , \infty ^0$ )

   Para la solucion de estos casos utilizaremos el mismo procedimiento, que consiste en los siguientes pasos: 

   1. llamar y al limite que se desea calcular, es decir: 

$y=\lim_{x\rightarrow a}[f(x)]^{g(x)}$ 

   2. Tomar logaritmos a ambos miembros: 

$ln(y)=ln(\lim_{x\rightarrow a}[f(x)]^{g(x)})$  

   3. Utilizar la propiedad de los logaritmos que dice que el logaritmo de un limite es el limite del logaritmo, es decir: 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow a}(ln([f(x)]^{g(x)}))$ 

   4. Aplicar la propiedad de una potencia: 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow a}(g(x)*ln(f(x)))$ 

       En este momento el limite se presenta en la forma indeterminada $0*\infty$ , puesto que si: 

• $\lim_{x\rightarrow a}f(x)^{g(x)}= 0^0$  entonces: $f(x)\rightarrow 0 ; g(x)\rightarrow 0$  luego: $\lim_{x\rightarrow a}[g(x)ln(f(x))]= 0*\infty$ 

•  $\lim_{x\rightarrow a}f(x)^{g(x)}=1^\infty$ entonces: $f(x)\rightarrow 1; g(x)\rightarrow \infty$ luego: $\lim_{x\rightarrow a}[g(x)ln(f(x))]=\infty *0$ 

• $\lim_{x\rightarrow a} f(x)^{g(x)}=\infty ^0$   entonces: $f(x)\rightarrow \infty ; g(x)\rightarrow 0$  luego: $\lim_{x\rightarrow a}[g(x)ln(f(x))]=0*\infty$ 

   5. transformar la expresion: $g(x)ln(f(x))$  en otra de la forma indeterminada: $\frac{0}{0}; \frac{\infty }{\infty }$ cuando: $x\rightarrow a$  escribiendo: 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{ln(g(x))}{\frac{1}{f(x)}}$ 

   6. Aplicar la regla de L´Hospital en la expresion anterior. sea c el limite obtenido;  si este existe. 

   7. como ya se ha obtenido que: $ln(y)=c$  el limite y buscado sera: $e^c$

       Ejemplo: 

 

    Calcular:  $\lim_{x\rightarrow 1}(1-x)^{cos(\frac{\pi }{2}x)}$ 

 

      Solucion: 

 

    como el limite ptopuesto toma la forma indeterminada $0^0$ apliacndo lo visto anteriormente: 

 

$y=\lim_{x\rightarrow 1}(1-x)^{cos\frac{\pi }{2}x}= ln(y)=ln(\lim_{x\rightarrow 1}(1-x)^{cos\frac{\pi }{2}x})$  

 

$\Rightarrow ln(y)=\lim_{x\rightarrow 1}(ln((1-x)^{cos\frac{\pi }{2}x}))$  

$\Rightarrow ln(y)=\lim_{x\rightarrow 1}(cos\frac{\pi }{2}xln(1-x))$ 

   Como: $\lim_{x\rightarrow 1}(cos\frac{\pi }{2}xln(1-x))$ toma la forma indeterminada: $0*\infty$ , podemos escribir. 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{ln(1-x)}{\frac{1}{cos\frac{\pi}{2}x}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{ln(1-x)}{sec\frac{\pi}{2}x}$ 

   Que a su vex es de la forma: $\frac{\infty }{\infty }$ , luego: 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{-1}{1-x}}{-\frac{\pi }{2}sec(\frac{\pi }{2}x)tan(\frac{\pi }{2}x)}$ 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-2cos^2(\frac{\pi }{2}x)}{\pi (1-x)sen(\frac{\pi }{2}x)}$ 

   Como este limite toma la forma: $\frac{0}{0}$  debemos aplicar nuevamente la regla de L´Hospital asi: 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2\pi cos(\frac{\pi }{2}x)sen\frac{\pi }{2}x}{\frac{\pi ^2}{2}(1-x)cos(\frac{\pi }{2}x)-\pi sen(\frac{\pi }{2}x)}=\frac{0}{-\pi }=0$ 

De $ln(y)=0$ se sigue que: $y=e^0=1$ y finalmente: $\lim_{x\rightarrow 1}(1-x)^{cos(\frac{\pi }{2}x)}=1$