INTEGRALES DE UN POLINOMIO EN sen(x) Y cos(x)

     Es decir integrales de la forma: $\displaystyle \int sen^p(x)cos^q(x)dx$ 

PRIMER CASO. 

      Únicamente uno de los exponentes es impar. 

•  supongamos que p es impar,entonces: $\displaystyle p=2n+1; n\varepsilon \mathbb{Z}^+$  y entonces: 

 $\displaystyle \int sen^p(x)cos^q(x)dx=\int (sen(x))^{2n+1}cos^q(x)dx$ 

$\displaystyle =\int sen^{2n}(x)sen(x)cos^q(x)dx$  

$\displaystyle =\int (1-cos^2(x))^nsen(x)cos^q(x)dx$  

     Si hacemos u=cos(x) entonces se sigue que: du=-sen(x )dx y: $\displaystyle \int (1-cos^2(x))^nsen(x)cos^q(x)dx=-\int (1-u^2)^nu^qdu$ , integral que se calcula de manera sencilla.

•  si q es impa, $\displaystyle q=2n+1, n\varepsilon \mathbb{Z}^+$, entonces: 

 $\displaystyle \int sen^p(x)sen^q(x)dx=\int sen^p(x)cos(x)^\left \{ 2n+1 \right \}dx$ 

$\displaystyle =\int sen^p(x)(cos(x))^{2n+1}dx$ 

$\displaystyle =\int sen^p(x)(1-sen^2(x))^ncos(x)dx$ 

     Tomando u=sen(x), se tiene du = cos(x)dx y entonces: 

$\displaystyle \int sen^p(x)(1-sen^2(x))^ncos(x)dx=\int u^p(1-u^2)^ndu$ 

    Que de igual manera es facil calcularla por lo metodos vistos anteriormente. 

SEGUNDO CASO. - Los dos exponentes son impares, es decir: $\displaystyle p=2n+1, n\varepsilon \mathbb{Z}^+$  y $\displaystyle q=2m+1, m\varepsilon \mathbb{Z}^+$.

     En este caso se tiene: 

$\displaystyle \int sen^p(x)cos^q(x)dx=\int sen^{2n+1}(x)cos^{2m+1}(x)dx$ 

$\displaystyle =\int sen^{2n}(x)cos^{2m}(x)sen(x)cos(x)dx$ 

     como: $\displaystyle sen(x)cos(x)=\frac{1}{2}sen(2x)$, utilizando la sustitucion u=cos(2x) se  sigue que: du = -2sen(2x)dx = -4sen(x)cos(x)dx. y utilizando ademas las identidades trigonométricas

$\displaystyle sen^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}; cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}$, la ultima integral se transforma en : 

$\displaystyle \int sen^{2n}(x)cos^{2n}(x)sen(x)cos(x)dx=-\frac{1}{4}\int \left (\frac{1-u}{2} \right )^n\left ( \frac{1+u}{2} \right )^mdu$ 

: 

     La misma que se calcula fácilmente

TERCER CASO. - Los dos exponentes son pares es decir p=2n, q=2m se tiene que: 

$\displaystyle \int sen^p(x)cos^q(x)dx=\int sne^{2n}(x)cos^{2m}(x)dx$ 

$\displaystyle =\int (sen^2(x))^n(cos^2(x))^mdx$ 

     Utilizando las formulas $\displaystyle sen^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}; cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}$  se sigue que: 

$\displaystyle \frac{1}{2^{n+m}}\int (1-cos(2x))^n(1+cos(2x))^mdx$ 

     Desarrollando $\displaystyle (1-cos(2x))^n(1+cos(2x))^m$ y reemplazando el producto de dos cosenos por una suma de cosenos se obtiene el valor de la integral. 

Ejemplo: 

Clacular: $\displaystyle \int sen^4(x)cos^2(x)dx$ 

$\displaystyle \int sen^4(x)cos^2(x)dx=\int (sen^2(x))^2(cos^2(x))dx=\int \left ( \frac{1-cos(2x)}{2} \right )^2\left ( \frac{1+cos(2x)}{2} \right )dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{8}\int (1-cos^2(2x))(1-cos(2x))dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{8}\int \left [ 1-\frac{1+cos(4x)}{2} \right ](1-cos(2x))dx=\frac{1}{16}\int (1-cos(4x))(1-cos(2x))dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{16}\int [1-cos(4x)-cos(2x)+cos(4x)cos(2x)]dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{16}\int \left [ 1-cos(4x)-cos(2x)+\frac{1}{2}cos(2x)+\frac{1}{2}cos(6x) \right ]dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{16}\int \left [ x-\frac{1}{4}sen(2x)-\frac{1}{4}sen(4x)+\frac{1}{12}sen(6x) \right ]dx$ 

$\displaystyle =\frac{x}{16}-\frac{1}{64}sen(2x)-\frac{1}{64}sen(4x)+\frac{1}{192}sen(6x)+c$ 

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