Relación entre Derivabilidad y Continuidad

Derivadas a Derecha e Izquierda.-
$$Recrdemos\quad que:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)\quad existe\quad si\quad y\quad solo\quad si:\quad \lim _{ x\rightarrow { { x }_{ 0 } }^{ + } }{ f(x)= } \lim _{ { { x }_{ 0 } }^{ - } }{ f(x),\quad como }  } \\ la\quad derivada\quad de\quad la\quad función\quad f\quad en\quad { x }_{ 0 }\quad esta\quad dada\quad por:\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } \quad  } \\ dicha\quad derivada\quad existira\quad si\quad y\quad solo\quad si:\quad \lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h }  } =\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h }  } \\ podemos\quad definir:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$A\quad los\quad límites:\quad \lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h }  } =\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h }  } ,\quad si\quad existen,se\quad les\quad \quad \\ denomina\quad derivada\quad a\quad derecha\quad y\quad derivada\quad a\quad izquierda\quad de\quad f\quad en\quad el\quad punto\quad \\ { x }_{ 0 }\quad y\quad se\quad notan:\quad { { f }^{ ´ } }_{ + }({ x }_{ 0 })\quad y\quad { { f }^{ ´ } }_{ - }({ x }_{ 0 })\quad respectivamente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$i)\quad si:\quad { { f }^{ ´ } }_{ + }({ x }_{ 0 })\quad y\quad { { f }^{ ´ } }_{ - }({ x }_{ 0 })\quad existen\quad y\quad si\quad ademas:\quad { { f }^{ ´ } }_{ + }({ x }_{ 0 })={ { f }^{ ´ } }_{ - }({ x }_{ 0 })\quad entonces\quad se\\ dice\quad que\quad existe\quad la\quad derivada\quad de\quad la\quad función\quad f\quad en\quad el\quad punto\quad { x }_{ 0 }.\quad Es\quad decir\quad \\ que\quad si:\quad { { f }^{ ´ } }_{ + }({ x }_{ 0 })\neq { { f }^{ ´ } }_{ - }({ x }_{ 0 })\quad entonces\quad f\quad no\quad es\quad derivable\quad en\quad { x }_{ 0. }$$
$$Sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad por:\quad f(x)=\sqrt { { x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 } } definida\quad en:\quad [-1,+\infty )\quad \\ ¿es\quad f\quad derivable\quad en\quad 0?\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \quad \qquad \qquad veamos:\quad \sqrt { { x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 } } =\left| x \right| \sqrt { x+1 } ,\quad entonces:\quad $$

$${ { f }^{ ´ } }_{ + }(0)=\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { f(0+h)-f(0) }{ h }  } \lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { \left| h \right| \sqrt { h+1 }  }{ h }  } =\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { h\sqrt { h+1 }  }{ h }  }  $$
$$\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \sqrt { h+1 } =1 } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

$$\quad { { f }^{ ´ } }_{ - }(0)=\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { f(0+h)-f(0) }{ h }  } \lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { \left| h \right| \sqrt { h+1 }  }{ h }  } =\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { -h\sqrt { h+1 }  }{ h }  } $$
$$=\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ -\sqrt { h+1 } =-1 } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

$$como:{ { f }^{ ´ } }_{ + }(0)\neq { { f }^{ ´ } }_{ - }(0)\quad se\quad sigue\quad que\quad f\quad no\quad es\quad derivable\quad en\quad x=0.\quad \quad $$

Relación Entre Derivabilidad y Continuidad.-
$$Teorema.-\quad Si\quad f\quad es\quad derivable\quad en\quad { x }_{ 0 },\quad entonces\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0\\  }$$

$$i)\quad El\quad reciproco\quad del\quad teorema\quad anterior\quad no\quad siempre\quad es\quad verdadero,\quad es\\ decir\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0 }\quad en\quad general\quad no\quad es\quad cierto\quad que\quad f\quad es\quad \\ derivable\quad en\quad { x }_{ 0 }.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$