LIMITES LATERALES
$$\quad \quad \quad \quad Se\quad dice\quad que\quad el\quad limite\quad de\quad f(x)\quad cuando\quad x\quad tiende\quad a\quad { x }_{ 0 }\quad por\quad la\quad derecha\\ (es\quad decir\quad que\quad x\quad toma\quad valores\quad mayores\quad que\quad { x }_{ 0 })\quad es\quad A\quad y\quad se\quad nota:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { 0 }^{ + } } }{ f(x)=\quad A } \\ si:\quad para\quad todo\quad \varepsilon >0\quad existe\delta >0/para\quad todox>{ x }_{ 0\quad }si:0<x-{ x }_{ 0 }<\delta \Rightarrow \left| f(x)-A \right| <\varepsilon$$
$$\quad \quad \quad \quad Se\quad dice\quad que\quad el\quad limite\quad de\quad f(x)\quad cuando\quad x\quad tiende\quad a\quad { x }_{ 0 }\quad por\quad la\quad izquierda\\ (es\quad decir\quad que\quad x\quad toma\quad valores\quad menores\quad que\quad { x }_{ 0 })\quad es\quad A\quad y\quad se\quad nota:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { 0 }^{ - } } }{ f(x)=\quad B } \\ si:\quad para\quad todo\quad \varepsilon >0\quad existe\quad \delta >0/para\quad cada\quad x<{ x },si:0<x-{ x }_{ 0 }<\delta \Rightarrow \left| f(x)-B \right| <\varepsilon$$
Observacion.- Puede probarse que el limite de f(x) cuando X tiende a Xo existe si y solo si existe el limite por la derecha y existe el limite por la izquierda y ambos son iguales. es decir:
$$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=A\quad \Leftrightarrow } \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { { 0 }^{ + } }^{ } } }{ f(x)= } \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { 0 }^{ - } } }{ f(x)=A }$$
Ejemplo:
Evaluar los siguientes limites y ver si existen los limites laterales y consecuentemente ver si existe el limite:
$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \left| x \right| }{ x } } ;\quad como:\quad \left| x \right| =\left\{ { x;\quad \quad \quad si:\quad x\ge 0 }\\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad -x;\quad \quad si:\quad x<0\quad } \right\} \\ entonces\quad f(x)=\left\{ { \frac { x }{ x } ;\quad \quad \quad si:\quad x\ge 0 }\\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { -x }{ x } }\quad \quad \quad si:\quad x<0 \right\} \\ entonces\quad podemos\quad calcular\quad los\quad limites\quad laterales:\\ i)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { x }{ x } } =\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ 1 } =\quad 1\quad \quad \quad (existe\quad limite\quad por\quad la\quad derecha)\\ ii)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { -x }{ x } } =\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ -1=-1 } \quad (existe\quad el\quad limite\quad por\quad la\quad izquierda)\\ como\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x)\neq } \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ f(x)\quad entonces\quad no\quad existe:\quad \lim _{ x\rightarrow 0 }{ f(x) } }$$
$$sea:\quad f(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }+a\quad \quad si:\quad x\ge 1 \\ x+b\quad \quad \quad si:\quad x<1\quad \end{cases}\\ donde\quad a\quad y\quad b\quad son\quad constantes,\quad para\quad que\quad exista\quad el\quad limite\quad que\quad relacion\quad debe\quad haber\\ entre\quad a\quad y\quad b?\\ veamos\quad los\quad limites\quad laterales\quad de\quad la\quad funcion:\\ \qquad i)\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ { x }^{ 2 } } +a=1+a\\ \qquad ii)\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ x+b=1+b } \\ existe\quad \lim _{ x\rightarrow 1 }{ f(x)\Leftrightarrow \lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x)\quad entonces: } } } \\ \qquad existe:\quad \lim _{ x\rightarrow 1 }{ f(x)\Leftrightarrow } 1+a=1+b\\ entonces\quad existe\quad el\quad limite\quad si\quad a=b.$$
CONTINUIDAD
la gran mayoria de funciones que hemos tratado gozan de una caracteristica muy importante que es la continuidad, intuitivamente la continuidad de una funcion y=f(x) significa que si x es procimo a un punto Xo entonces f(x) esta muy cercano a f(Xo) tanto como nosotros queramos.
DEFINICION.-
$$Una\quad función\quad f\quad se\quad dice\quad que\quad es\quad continua\quad en\quad x={ x }_{ 0\quad }de\quad su\quad dominio\quad si:\\ \qquad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=f({ x }_{ 0 }) } \\ en\quad otras\quad palabras\quad \quad una\quad funcion\quad es\quad continua\quad si\quad y\quad solo\quad si:\\ \qquad i)\quad f\quad esta\quad definida\quad en\quad x={ x }_{ 0\quad }es\quad decir\quad existe\quad f({ x }_{ 0 })\\ \qquad ii)\quad existe:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x) } \\ \qquad iii)\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=f({ x }_{ 0 }) }$$
Ejemplos de funciones continuas.-
$$i)\quad la\quad funcion\quad constante\quad es\quad continua\quad en\quad todo\quad punto.\quad \\ \qquad en\quad efecto\quad sea:f(x)=k\quad entonces:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ *\quad f({ x }_{ 0 })=k\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ *\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=k } =f({ x }_{ 0 })\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad De\quad acuerdo\quad a\quad la\quad definicion\quad de\quad continuidad\quad se\quad dice\quad que\quad la\quad funcion\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad constante\quad es\quad continua\quad en\quad todo\quad punto.$$
$$ii)\quad la\quad funcion\quad identidad\quad es\quad continua\quad en\quad todo\quad punto.\\ \qquad en\quad efecto\quad sea:\quad f(x)=x\quad entonces:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ *\quad f({ x }_{ 0 })={ x }_{ 0 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ **\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)={ x }_{ 0 }=f({ x }_{ 0 }) } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad De\quad acuerdo\quad a\quad la\quad definicion\quad de\quad continuidad\quad la\quad funcion\quad identidad\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad es\quad continua\quad en\quad todo\quad punto.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
Teorema:
$$\quad \quad \quad Sean\quad f\quad y\quad g\quad funciones\quad continuas\quad en\quad un\quad punto\quad x={ x }_{ 0 }\quad entonces:\\ i)\quad f+g;\quad f-g;\quad f*g;\quad \frac { f }{ g } \quad g\neq 0;\quad son\quad continuas\quad en\quad x={ x }_{ 0 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
Continuidad Lateral.-
$$i)\quad Se\quad dice\quad que\quad f\quad es\quad continua\quad por\quad la\quad derecha\quad si:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { 0 }^{ + } } }{ f(x)=f({ x }_{ 0 }) } \\ ii)\quad Se\quad dice\quad que\quad f\quad es\quad continua\quad por\quad la\quad izquierda\quad si:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { x }^{ - } } }{ f(x)=f({ x }_{ 0 }) } \\ observación.-\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad x={ x }_{ 0 }\quad si\quad y\quad solo\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad por\quad \\ la\quad derecha\quad y\quad por\quad la\quad izquierda.$$
Ejemplo:
$$Analizar\quad la\quad continuidad\quad de\quad la\quad función\quad definida\quad por:\quad \\ f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-4 }{ x+2 } \quad \quad \quad ;\quad si\quad x\neq -2 \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad ;\quad si\quad x=-2 \end{cases}\\ *\quad como\quad f(-2)=\quad 0\quad entonces\quad f\quad esta\quad definida\quad en\quad x=-2\\ *\quad \lim _{ x\rightarrow -2 }{ \frac { { x }^{ 2 }-4 }{ x+2 } =\quad \lim _{ x\rightarrow -2 }{ x-2=-4\quad en\quad consecuencia\quad \lim _{ x\rightarrow -2 }{ f(x)\quad existe. } } } \\ como:\quad \lim _{ x\rightarrow -2 }{ f(x)\neq f(-2)\quad f\quad no\quad es\quad continua\quad en\quad x=-2 } \\ veamos\quad si\quad existe\quad o\quad no\quad continuidad\quad lateral:\\ \qquad como:\quad \lim _{ x\rightarrow -{ 2 }^{ + } }{ f(x)=-4\neq f(-2)\quad y\quad \lim _{ x\rightarrow -{ 2 }^{ - } }{ f(x) } =4\neq f(-2)\quad se\quad sigue\quad que\quad } \\ f\quad no\quad es\quad continua\quad en\quad -2\quad ni\quad por\quad la\quad derecha\quad ni\quad por\quad la\quad izquierda.$$
A continuacion les dejo ejercicios resueltos en pdf, sobre limites laterales y continuidad aqui el enlace.
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