TEOREMAS SOBRE FUNCIONES CONTINUAS.

A continuación enunciaremos los principales teoremas sobre funciones continuas los cuales nos ayudaran a resolver problemas y ejercicios propuestos.

$$i)\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0 }\quad y\quad g\quad es\quad continua\quad en\quad f({ x }_{ 0 })\\ entonces:\quad gof\quad es\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0 }$$

$$ii)\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad L\quad y\quad \lim _{ x\rightarrow a }{ g(x)=L,\quad entonces:\quad  } \\ \qquad \qquad \lim _{ x\rightarrow a }{ f(g(x))=f(L) } $$

$$iii)\quad la\quad inversa\quad de\quad una\quad funcion\quad continua\quad si\quad existe\quad es\quad \\ continua.$$

$$iv)\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\left[ a;b \right] entonces\quad f\quad es\quad acotada\quad en\left[ a;b \right] $$

$$v)\quad sea\quad f\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0 }.\quad si:f({ x }_{ 0 })\neq 0,\quad existe\quad un\quad \quad \quad \\ intervalo\quad ({ x }_{ 0 }-\delta ;{ x }_{ 0 }+\delta )tal\quad que\quad f(x)tiene\quad el\quad mismo\quad signo\quad que\\ f({ x }_{ 0 }),\forall x\quad \epsilon \quad ({ x }_{ 0 }-\delta ;{ x }_{ 0 }+\delta )\quad (teorema\quad de\quad conservacion\quad del\quad signo\\ para\quad funciones\quad continuas)$$

$$vi)Sea\quad f\quad continua\quad en\quad \left[ a;b \right] .\quad si:\quad f(a)\neq f(b)\quad entonces\quad f\quad toma\\ todos\quad los\quad valores\quad comprendidos\quad entre\quad f(a)\quad y\quad f(b).\quad (teorema\quad \\ del\quad valor\quad medio\quad para\quad funciones\quad continuas)$$

$$vii)\quad sea\quad f\quad continua\quad en\quad \left[ a;b \right] .\quad si\quad f(a)\quad y\quad f(b)\quad tienen\quad \\ distinto\quad signo,\quad existe:\quad a<c<b\quad tal\quad que:\quad f(c)=0.\quad (teorema\quad de\quad bolzano)$$