Limites Infinitos y Limites Trigonométricos.

Limites Infinitos y limites al infinito.-

           Hablaremos de el comportamiento de ciertas funciones que al acercarse a un punto crecen o decrecen  indefinidamente es decir tienden a mas o menos infinito (asindotas verticales ), también de ciertas funciones que cuando x crece o decrece indefinidamente se acercan a un punto L y de funciones que al hacer crecer x crecen o decrecen indefinidamente es decir tienden a mas o menos infinito.
            a continuación definiremos cada caso y daremos su definición formal:

$$i)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ f(x)=L;es\quad decir\quad que\quad si\quad x\quad crece\quad indefinidamente\quad entonces\quad  } \\ los\quad valores\quad de\quad f(x)\quad se\quad acercan\quad cada\quad vez\quad mas\quad a\quad un\quad punto\quad L.\\ \qquad def:\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ f(x)=L\quad si\quad \forall \varepsilon >0;\exists M>0\quad tal\quad que\quad si:x>M\quad entonces\left| f(x)-L \right| <\varepsilon  }$$
$$ii)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ f(x)=L;\quad es\quad decir\quad si\quad x\quad decrece\quad indefinidamente\quad entonces\quad  } \\ los\quad valores\quad de\quad f(x)\quad se\quad acercan\quad cada\quad vez\quad mas\quad a\quad un\quad punto\quad L.\\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ f(x)=L\quad si\quad \forall \varepsilon >0;\exists M<0\quad tal\quad que\quad si:x<M\quad entonces\left| f(x)-L \right| <\varepsilon \quad  } $$
$$De\quad i)\quad y\quad ii)\quad podemos\quad deducir:\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \frac { 1 }{ x }  } =0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { 1 }{ x }  } =0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ { x }^{ p } }  } =0;\quad p>0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ { e }^{ -x } } =0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ { e }^{ x }=0 }$$
$$iii)\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=+\infty ;es\quad decir\quad cuando\quad x\quad se\quad acerca\quad a\quad { x }_{ 0 }\quad por\quad la\quad izquierda } \\ y\quad por\quad la\quad derecha\quad los\quad valores\quad de\quad f(x)\quad crecen\quad indefinidamente.\\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=+\infty \quad si\quad \forall M>0;\quad \exists \delta >0\quad tal\quad que\quad 0<\left| x-{ x }_{ 0 } \right|  } <\delta \quad entonces:f(x)>M$$
$$iv)\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=-\infty ;\quad es\quad decir\quad cuando\quad x\quad se\quad acerca\quad a\quad { x }_{ 0 }\quad por\quad la\quad izquierda\quad  } \\ y\quad por\quad la\quad derecha\quad los\quad valores\quad de\quad f(x)\quad decrecen\quad indefinidamente.\\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=-\infty \quad si\quad \forall M<0;\quad \exists \delta >0\quad tal\quad que\quad 0<\left| x-{ x }_{ 0 } \right|  } <\delta \quad entonces:f(x)<M$$
$$v)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ f(x) } =+\infty ;\quad es\quad decir\quad que\quad cuando\quad x\quad crece\quad indefinidamente\quad \\ entonces:\quad f(x)\quad tambien\quad crece\quad indefinidamente.\\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ f(x)=+\infty \Leftrightarrow \forall M>0;\quad \exists N>0\quad tal\quad que\quad si:x>N\quad entonces:\quad f(x)>M\quad  } $$
$$vi)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ f(x) } =-\infty ;\quad es\quad decir\quad que\quad cuando\quad x\quad crece\quad indefinidamente\quad \\ entonces:\quad f(x)\quad decrece\quad indefinidamente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall M<0;\quad \exists N>0\quad tal\quad que\quad si:x>N\quad entonces:\quad f(x)<M\quad  } $$
$$vi)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ f(x) } =+\infty ;\quad es\quad decir\quad que\quad cuando\quad x\quad decrece\quad indefinidamente\quad \\ entonces:\quad f(x)\quad crece\quad indefinidamente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ f(x)=+\infty \Leftrightarrow \forall M<0;\quad \exists N<0\quad tal\quad que\quad si:x<N\quad entonces:\quad f(x)>M\quad  } $$
$$vii)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ f(x) } =-\infty ;\quad es\quad decir\quad que\quad cuando\quad x\quad decrece\quad indefinidamente\quad \\ entonces:\quad f(x)\quad tambien\quad decrece\quad indefinidamente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall M<0;\quad \exists N<0\quad tal\quad que\quad si:x<N\quad entonces:\quad f(x)<M\quad  } $$
       Se Define:
$$*)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ { e }^{ \frac { 1 }{ x }  }=+\infty  } \\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ { e }^{ \frac { 1 }{ x }  } } =0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ (logx)=+\infty  } \\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ (logx)=-\infty  } $$

Limite Trigonométrico Fundamental.

$$Veamos:\quad \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { senx }{ x } ;\quad  } donde\quad si\quad reemplazamos\quad directamente\\ tenemos\quad una\quad indeterminacion:\quad \frac { 0 }{ 0 } .\\ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { senx }{ x } ;\quad  } conocido\quad como\quad limite\quad trigonometrico\quad fundamental,\\ y:\quad \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { senx }{ x } =1\quad  }$$

Les Dejare un Archivo Pdf con ejercicios resueltos de estos temas: aquí el enlace