Derivada de la Función Compuesta

$$Teorema\quad (Regla\quad de\quad la\quad cadena).-\quad Sea\quad u=fog.\quad Si\quad g\quad es\quad derivable\quad en\quad x\\ y\quad f\quad es\quad derivable\quad en\quad g(x),\quad entonces\quad u\quad es\quad derivable\quad en\quad x\quad y\quad ademas\quad \quad \\ { u }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(g(x))*{ g }^{ ´ }(x).\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$De\quad este\quad teorema\quad podemos\quad encontrar\quad derivadas\quad de\quad funciones\quad tales\quad \quad \\ como:\quad sen(2x),\quad { sen }^{ 2 }(x),\quad { (2x+1) }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Ya\quad que\quad si:\quad f(x)=sen(2x)\quad entonces\quad hacemos:\quad g(x)=2x\quad donde\quad tendremos:\\ sen(2x)=sen(g(x))=f(x);\quad donde\quad por\quad el\quad teorema\quad anterior\quad tenemos\quad que:\quad $$
$${ f }^{ ´ }(x)=cos(g(x)){ g }^{ ´ }(x)=cos(2x)*2=2cos(2x)\quad \quad \quad \quad $$
$$De\quad manera\quad similar\quad f(x)={ sen }^{ 2 }x\quad y\quad si\quad hacemos\quad sen(x)=g(x)\quad tenemos\quad que:$$
$${ f´ }(x)=2g(x)*{ g }^{ ´ }(x)=2sen(x)cos(x)\quad \quad $$
$$sea\quad f(x)={ (2x+1) }^{ 2 };\quad como\quad ya\quad nos\quad hemos\quad familiarizado\quad podemos\quad hacer\\ el\quad procedimiento\quad directamente,\quad es\quad decir\quad sin\quad realizar\quad la\quad sustitución:\quad $$
$$entonces:\quad { f }^{ ´ }(x)=2(x+1)*2=4(x+1)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Notación\quad de\quad Leibniz.-\quad Sea\quad y=f(x),\quad entonces\quad en\quad lugar\quad de\quad { f }^{ ´ }(x)\quad Leibniz\\ utilizaba\quad la\quad notación:\quad \frac { dy }{ dx } (derivada\quad de\quad y\quad con\quad respecto\quad a\quad x)\quad \quad \quad $$
$$Regla\quad de\quad la\quad Cadena\quad en\quad la\quad Notación\quad de\quad Leibniz:\quad la\quad regla\quad de\quad la\quad cadena\\ es\quad un\quad ejemplo\quad para\quad mostrar\quad la\quad utilidad\quad de\quad la\quad notación\quad de\quad Leibniz\quad para\\ la\quad derivada.\quad En\quad efecto,\quad si\quad tenemos\quad u(x)=(fog)(x)=f(g(x)).\quad haciendo\quad \quad \quad \\ z=u(x)\quad e\quad y=g(x)\quad tenemos:\quad z=f(y)\quad y\quad en\quad este\quad caso:$$
$$\frac { dz }{ dx } ={ u }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(g(x)){ g }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(y){ g }^{ ´ }(x)\quad como:\quad \frac { dy }{ dx } ={ g }^{ ´ }(x);\quad \frac { dz }{ dy } ={ f }^{ ´ }(y):$$
$$\frac { dz }{ dx } =\frac { dz }{ dy } *\frac { dy }{ dx } ;\quad regla\quad de\quad la\quad cadena\quad en\quad la\quad notacion\quad de\quad Leibniz.\quad $$
$$i)\quad hallar:\quad \frac { dz }{ dx } \quad si:\quad z=seny,\quad y=cosx\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$sabemos\quad que:\frac { dz }{ dx } =\frac { dz }{ dy } *\frac { dy }{ dx } ;\quad luego:\quad \frac { dz }{ dx } =(cos(y))(-sen(x))=-cosysenx$$
$$sabemos\quad que:\frac { dz }{ dx } =\frac { dz }{ dy } *\frac { dy }{ dx } ;\quad luego:\quad \frac { dz }{ dx } =(cos(y))(-sen(x))=-cosysenx\\ es\quad decir:\quad \frac { dz }{ dz } =-cos(cosx)senx\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Derivacion\quad Implícita.-\quad Hasta\quad ahora\quad hemos\quad trabajado\quad con\quad expresiones\quad de\\ tipo:\quad y=\frac { { x }^{ 2+1 } }{ 2x-1 } ;\quad y={ x }^{ 5 }-{ 4 }x^{ 3 }-7;\quad y={ x }^{ 3 },\quad etc.\quad entodas\quad ellas\quad la\quad variable\quad indep-\\ endiente\quad y\quad esta\quad expresada\quad en\quad términos\quad de\quad la\quad variable\quad independiente\quad x.\quad \\ en\quad casos\quad como\quad estos\quad se\quad dice\quad que\quad y\quad esta\quad dada\quad explicitamente\quad en\quad función\\ de\quad x.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Sin\quad embargo,\quad hay\quad muchos\quad problemas\quad que\quad conducen\quad a\quad ecuaciones\quad que\quad \\ relacionan\quad 2\quad variables,\quad de\quad tal\quad manera\quad que\quad ninguna\quad de\quad ellas\quad aparece\quad \quad \\ despejada,\quad en\quad cualquiera\quad de\quad los\quad casos\quad se\quad dice\quad que\quad cualquiera\quad de\quad las\quad \\ variables\quad es\quad una\quad funcion\quad implicita\quad de\quad la\quad otra.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Asi\quad por\quad ejemplo:\quad x+y=5;\quad { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1;\quad xy=k$$
$$En\quad ocasiones\quad es\quad posible\quad despejar\quad una\quad variable\quad y\quad expesarla\quad como:\quad \quad \\ función\quad explicita\quad de\quad la\quad otra,\quad pero\quad en\quad otros\quad casos\quad resulta\quad imposible\quad \quad \\ despejar\quad una\quad e\quad las\quad variables\quad en\quad función\quad de\quad la\quad otra\quad como\quad ocurre\quad \quad \\ con:\quad { x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }+x{ y }^{ 3 }=1,\quad o\quad en\quad su\quad defecto\quad resultan\quad expresiones\quad muy\quad com-\quad \\ plicadas\quad de\quad manera\quad que\quad calcular\quad su\quad derivada\quad resultaría\quad complicado\\ para\quad esos\quad casos\quad existe\quad una\quad manera\quad de\quad resolver\quad ejercicios\quad de\quad este\quad \quad \\ tipo\quad sin\quad necesidad\quad de\quad resolver\quad la\quad ecuación\quad explicitamente\quad para\quad x\quad \\ o\quad para\quad y.\quad esta\quad tecnica\quad se\quad conoce\quad como\quad derivacion\quad implita,\quad lo\quad que\\ no\quad es\quad sino\quad una\quad aplicación\quad de\quad la\quad regla\quad de\quad la\quad cadena.\quad veamos:\quad \quad \quad $$
$$i)\quad hallar.-\quad \frac { dy }{ dx } \quad si:\quad { x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-2xy=6x+y+1,\quad supongamos:\quad y=f(x),\quad \quad \quad $$
$$entonces\quad la\quad ecuación\quad la\quad podemos\quad escribir:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ { x }^{ 2 }[f(x)]^{ 3 }-2xf(x)=6x+f(x)+1\quad derivando\quad los\quad dos\quad miembros\quad término\quad \\ a\quad término\quad con\quad respecto\quad a\quad x\quad tenemos:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$2x{ [f(x)] }^{ 3 }+{ 3x }^{ 2 }{ [f(x)] }^{ 2 }{ f }^{ ´ }(x)-2f(x)-2xf^{ ´ }(x)=6+{ f }^{ ´ }(x)$$
$$como:\quad y=f(x)\quad y\quad { f }^{ ´ }(x)=\frac { dy }{ dx } ;\quad sustituyendo\quad en\quad lo\quad anterior\quad tenemos:\\ \qquad 2x{ y }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }{ y }^{ ´ }-2y-2x{ y }^{ ´ }=6+{ y }^{ ´ }\\ \qquad 3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }{ y }^{ ´ }-2x{ y }^{ ´ }-{ y }^{ ´ }=2y-2x{ y }^{ 3 }+6\\ \qquad { y }^{ ´ }(3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-2x-1)=2y-2x{ y }^{ 3 }+6\\ \qquad { y }^{ ´ }=\frac { dy }{ dx } =\frac { 2y-2x{ y }^{ 3 }+6 }{ 3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-2x-1 } $$