Propiedades de la Derivada

$$teorema.-\quad Si\quad f\quad y\quad g\quad son\quad derivables\quad entonces:\quad f+g;f-g;f*g;\frac { f }{ g } son\\ derivables\quad en\quad x(en\quad el\quad caso\quad del\quad cociente\quad g\neq 0)\quad ademas:\quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad$$
$$i)\quad { (f+g) }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(x)+{ g }^{ ´ }(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad ii)\quad { (f-g) }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(x)-{ g }^{ ´ }(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad iii)\quad { (f*g) }^{ ´ }(x)=f(x){ g }^{ ´ }(x)+{ f }^{ ´ }(x)g(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad iv)\quad { (\frac { f }{ g } ) }^{ ´ }(x)=\frac { { f }^{ ´ }(x)g(x)-f(x){ g }^{ ´ }(x) }{ { g }^{ 2 }(x) } ;\quad g(x)\neq 0\quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas.- 
$$*)\quad Derivada\quad de\quad la\quad tangente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Sea:\quad tan(x)=\frac { sen(x) }{ cos(x) } ;\quad aplicando\quad la\quad parte\quad iv)\quad del\quad teorema\quad anterior$$
$${ f }^{ ´ }(x)=\frac { cos(x)cos(x)-sen(x)(-sen(x)) }{ { cos }^{ 2 }(x) } =\frac { { cos }^{ 2 }x+{ sen }^{ 2 }x }{ { cos }^{ 2 }(x) } =\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }(x) } ={ sec }^{ 2 }x$$
$$**)\quad Derivada\quad de\quad la\quad cotangente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Sea:\quad cot(x)=\frac { 1 }{ tan(x) } ;\quad aplicando\quad la\quad parte\quad iv\quad del\quad teorema\quad anterior$$
$${ f }^{ ´ }(x)=\frac { tan(x)*0-({ sec }^{ 2 }x) }{ { tan }^{ 2 }x } =\frac { -{ sec }^{ 2 }x }{ { tan }^{ 2 }x } =-\frac { \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }x }  }{ \frac { { sen }^{ 2 }x }{ { cos }^{ 2 }x }  } =-\frac { 1 }{ { sen }^{ 2 }x } =-{ csc }^{ 2 }x\quad $$
$$***)\quad Derivada\quad de\quad la\quad secante.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Sea:\quad sec(x)=\frac { 1 }{ cos(x) } ;\quad aplicando\quad la\quad parte\quad iv)\quad del\quad teorema\quad anterior$$
$${ f }^{ ´ }(x)=\frac { cos(x)*0-1(-sen(x)) }{ { cos }^{ 2 }x } =\frac { -sen(x) }{ { cos }^{ 2 }x } =\frac { senx }{ cosx } *\frac { 1 }{ cosx } =tanxsecx\quad $$
$$****)\quad Derivada\quad de\quad la\quad cosecante.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Sea:\quad csc(x)=\frac { 1 }{ sen(x) } ;\quad aplicando\quad la\quad parte\quad iv)\quad del\quad teorema\quad anterior$$
$$\quad { f }^{ ´ }(x)=\frac { sen(x)*0-1(cos(x)) }{ { sen }^{ 2 }x } =\frac { -cos(x) }{ { sen }^{ 2 }x } =-\frac { cos(x) }{ sen(x) } \frac { 1 }{ sen(x) } =-csc(x)cot(x)\quad \quad $$