Limites

                                                                            LIMITES

    Al hablar de limite de una función nos estamos refiriendo hacia donde se dirige la función cuando x tiende a un determinado punto.

    Bueno muchos de nosotros conocemos procedimientos para calcular el limite de una función en un punto, de lo que no se habla con frecuencia es de la definición del limite de una función y como se resuelve ejercicios de este tipo, lo cual mencionaremos a continuación:

    Se dice que el limite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y solo si: 

          ∀ > 0 > 0 tal que: x E Dom(f), 0 <  |x-c|<⇒ |f(x)-L|<


PROPIEDADES DE LOS LIMITES.- 

     Sean f y g funciones continuas tales que: $$\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } =L\quad y\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } =K$$  entonces se tiene que: 

$$i)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ (f+g)(x)=\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } +\lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) }  } =L+K$$
$$ii)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ (f-g)(x)=\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } -\lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) }  } =L-K$$
$$iii)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ (f*g)(x)=\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } *\lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) }  } =LK$$
$$iv)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ (\cfrac { f }{ g } )(x)=\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } /\lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) }  } =\frac { L }{ K } \quad ;\quad K\neq 0$$
$$v)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ { \left[ f(x) \right]  }^{ g(x) }=\left[ \lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) }  \right] ^{ \lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) }  } } ={ L }^{ K };\quad \\ \quad \quad \quad con\quad K\quad y\quad L\quad no\quad simultaneamente\quad nulos.$$
$$vi)\quad si:\quad \sqrt [ n ]{ f(x) } existe,\quad entonces:\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \lim _{ x\rightarrow c }{ \sqrt [ n ]{ f(x) }  } =\sqrt [ n ]{ \lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) }  } =\sqrt [ n ]{ L }$$


TEOREMA.- 
     $$i)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ x } =c$$
     $$ii)\quad Si:\quad f(x)=k\quad (funcion\quad constante.)\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad entonces:\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ f(x)=k } \quad$$
     $$iii)\quad Si:\quad P(x)\quad es\quad una\quad funcion\quad polinominal.\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad se\quad tiene\quad que:\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ P(x)=P(c) }$$

    Los resultados enunciados en el teorema anterior representan las reglas fundamentales para operar con limites.

     Muchas veces intentamos hallar el límite de una función, puede ser que esta tienda a 
la forma 0/0, la misma que se denomina una forma indeterminada. en estos casos es necesario un análisis mas detallado de la función para ver si el limite planteado existe o no.  

TEOREMA.- 
     $$Si:\quad f\quad y\quad g\quad toman\quad los\quad mismos\quad valores\quad en\quad { x }_{ 0 },\quad [{ N }^{ * }({ x }_{ 0 },\delta )]\\ \quad \quad \quad y\quad si\quad existen:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)\quad y } \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ g(x)\quad \quad  } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad entonces:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)= } \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ g(x).\quad  }$$


EJEMPLOS:
       $$\lim _{ x\rightarrow -3 }{ \frac { { x }^{ 2 }+x-6 }{ x+3 }  } =\quad \frac { { (-3) }^{ 2 }+(-3)-6 }{ -3+3 } \quad es\quad de\quad la\quad forma\quad \frac { 0 }{ 0 }$$
    y por el teorema anterior si tomamos: $$f(x)=\frac { { x }^{ 2 }+x-6 }{ x+3 } =\frac { (x+3)(x-2) }{ x+3 } \quad y\quad g(x)=x-2$$
     Obviamente f y g no son iguales ya que f(-3) no esta definido y g(-3)=-5 pero para
todo valor de x diferente de -3 se cumple que f(x) = g(x), en consecuencia aplicando el 
teorema anterior se tiene: $$\lim _{ x\rightarrow -3 }{ \frac { (x+3)(x-2) }{ x+3 }  } =\lim _{ x\rightarrow -3 }{ x-2 } =-5$$

  $$ii)\quad \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { { x }^{ 2 }-3x-10 }{ x-5 }  } ,\quad =\quad \frac { { 5 }^{ 2 }-3(5)-10 }{ 5-5 } ,\quad de\quad la\quad forma\quad \frac { 0 }{ 0 } ,\quad indet.\\ \\ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { { x }^{ 2 }-3x-10 }{ x-5 }  } =\quad \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { (x-5)(x+2) }{ x-5 }  } =\lim _{ x\rightarrow 5 }{ x+2 } =7$$
        

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