Derivación

$$Motivación\quad Geométrica.-Nuestro\quad problema\quad es\quad determinar\quad la\quad recta\quad tangente\quad a\quad una\quad \quad \quad \\ curva\quad en\quad el\quad punto\quad P\quad de\quad abcsisa\quad { x }_{ 0 },\quad sabemos\quad que\quad una\quad recta\quad quedaria\quad completamente\\ caracterizada\quad si\quad conocemos\quad dos\quad puntos\quad que\quad pertenecen\quad a\quad ella,\quad o\quad si\quad conocemos\quad su\quad \quad \\ pendiente\quad y\quad un\quad punto.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

$$Si\quad unicamente\quad tenemos\quad el\quad punto:\quad p({ x }_{ 0 };f({ x }_{ 0 }))\quad y\quad queremos\quad determinar\quad la\quad pendiente\quad de\quad \\ la\quad recta\quad tangente\quad en\quad dicho\quad punto.\quad Para\quad ello\quad consideremos\quad a\quad mas\quad del\quad punto\quad P,\quad el\quad \quad \\ punto\quad Q({ x }_{ 0 }+h;f({ x }_{ 0 }+h));\quad estos\quad dos\quad puntos\quad definen\quad una\quad recta\quad secante\quad a\quad la\quad curva\quad \\ cuya\quad pendiente\quad esta\quad dada\quad por:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad \qquad \qquad m=\frac { f({ x }_{ 0 }+h)-f({ x }_{ 0 }) }{ h } =tan\theta  $$

$$Si\quad el\quad punto\quad Q\quad lo\quad movemos\quad aproximandonos\quad hacia\quad el\quad punto\quad P(o\quad sea\quad que\quad el\quad valor\quad de\\ h\quad se\quad acerca\quad a\quad cero)la\quad recta\quad secante\quad tiende\quad a\quad convertirse\quad en\quad la\quad recta\quad tangente\quad a\quad la\\ curva\quad en\quad el\quad punto\quad P.\quad entonces\quad se\quad define\quad la\quad pendiente\quad de\quad la\quad recta\quad tangente\quad como:\quad \\ \qquad \qquad \qquad { m }_{ tangente }=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f({ x }_{ 0 }+h)-f({ x }_{ 0 }) }{ h }  } =tan\alpha $$

$$Motivación\quad Física.-Consideremos\quad una\quad partícula\quad moviendose\quad a\quad lo\quad largo\quad de\quad una\quad recta\\ del\quad punto\quad A\quad al\quad punto\quad B.\quad Si\quad el\quad movimiento\quad es\quad uniforme\quad y\quad si\quad S(t)\quad nos\quad da\quad la\quad \quad \\ posición\quad de\quad la\quad partícula\quad en\quad el\quad instante\quad t.\quad la\quad posición\quad de\quad la\quad partícula\quad es\quad S(t).\quad \quad \\ Nos\quad interesa\quad ahora\quad el\quad caso\quad en\quad que\quad la\quad partícula\quad se\quad desplaza\quad no\quad con\quad velocidad\quad \\ constante,\quad sino\quad mas\quad bien\quad con\quad una\quad velocidad\quad variable\quad y\quad nuestro\quad objetivo\quad es\quad determi-\\ ar\quad la\quad velocidad\quad de\quad la\quad partícula\quad en\quad cada\quad instante\quad t.\quad Para\quad ello,\quad supongamos\quad conocida\\ la\quad funcion\quad de\quad posicion\quad s\quad de\quad la\quad particula.\quad Es\quad decir,\quad en\quad el\quad instante,\quad la\quad posición\quad de\quad \\ la\quad particula\quad es\quad S(t).\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

$$Para\quad llegar\quad a\quad definir\quad la\quad velocidad\quad de\quad la\quad partícula\quad en\quad el\quad instante\quad t,\quad utilizaremos\quad el\\ concepto\quad de\quad velocidad\quad media,\quad en\quad el\quad intervalo\quad \left[ t,t+h \right] \quad la\quad misma\quad que\quad esta\quad dada\quad por: $$

$${ \qquad \qquad \qquad \qquad v }_{ m }=\frac { s(t+h)-s(t) }{ h } $$

$$Si\quad el\quad valor\quad de\quad h\quad consideramos\quad cada\quad vez\quad mas\quad cercano\quad a\quad cero,\quad es\quad claro\quad que\quad la\quad vel-\\ ocidad\quad media\quad de\quad la\quad particula\quad en\quad dicho\quad intervalo\quad se\quad aproxima\quad mas\quad a\quad la\quad velocidad\quad \\ en\quad el\quad instante\quad t.\quad en\quad cosecuencia\quad podemos\quad definir\quad la\quad velocidad\quad instantanea\quad en\quad t\quad \quad \\ como\quad el\quad limite\quad de\quad las\quad velocidades\quad medias\quad en\quad \left[ t,t+h \right] \quad cuado\quad h\rightarrow 0\quad es\quad decir:\quad \quad \quad \quad $$

$$\qquad \qquad \qquad v(t)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { s(t+h)-s(t) }{ h }  } $$

Derivada de una Función en un punto.-

$$Definición.-\quad Sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad en\quad (a,b)y\quad x\quad \epsilon \quad (a,b).\quad se\quad dice\quad que\quad f\quad es\quad \\ derivable\quad en\quad x\quad si:\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } existe.\quad en\quad tal\quad caso\quad el\quad limite\quad se\quad denomina\quad la } \\ derivada\quad de\quad f\quad en\quad x\quad y\quad se\quad nota:\quad { f }^{ ' }(x);\quad es\quad decir:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

$$\qquad \qquad \qquad \qquad { f }^{ ` }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h }  } \quad $$

Observación.- $$Puesto\quad que\quad si\quad el\quad limite\quad existe,\quad este\quad es\quad único,\quad se\quad sigue\quad que\quad la\quad derivada\quad de\quad una\quad \\ función\quad en\quad un\quad punto,\quad si\quad existe\quad es\quad única.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

Derivada de las Funciones Usuales en un Punto. 

$$i)\quad Sea\quad la\quad funcion\quad f\quad definida\quad por:\quad f(x)=k,\quad \forall x\quad \epsilon \quad R.$$

$$\qquad { f }^{ ` }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { k-k }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ 0=0 }  }  } $$

$$ii)\quad sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad por\quad f(x)=x,\quad \forall x\quad \epsilon \quad R$$

$${ f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { (x+h)-x }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { h }{ h }  }  }  } \quad $$

$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { h }{ h }  } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ 1= } 1.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

$$iii)\quad sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad por:\quad f(x)={ x }^{ n }\quad n\quad \epsilon \quad { Z }^{ + }\quad $$

$${ f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { (x+h) }^{ n }-{ x }^{ n } }{ h }  } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  } $$

$$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { (x+h-x)({ (x+h) }^{ n-1 }+{ (x+h) }^{ n-2 }x+{ (x+h) }^{ n-3 }{ x }^{ 2 }+.....+{ x }^{ n-1 }) }{ h }  } $$

$$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ ({ (x+h) }^{ n-1 }+{ (x+h) }^{ n-2 }x+{ (x+h) }^{ n-3 }{ x }^{ 2 }+.....+{ x }^{ n-1 }) } ={ x }^{ n-1 }+{ x }^{ n-2 }x+....+{ x }^{ n-1 }=n{ x }^{ n-1 }$$

$$iv)\quad sea\quad f\quad la\quad función\quad definida\quad por:\quad f(x)={ x }^{ 1/n }=\sqrt [ n ]{ x } ;\quad n\quad \epsilon \quad { Z }^{ + },\quad x>0\\ \qquad Sea:\quad y={ (x+h) }^{ 1/n }y\quad z={ x }^{ 1/n },\quad se\quad tiene\quad que:\quad (x+h)={ y }^{ n };\quad x={ z }^{ n }\quad y\quad h={ y }^{ n }-{ z }^{ n }$$

$${ f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } = } \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { y-z }{ { y }^{ n }-{ z }^{ n } }  } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { y-z }{ (y-z)({ y }^{ n-1 }+{ y }^{ n-2 }z+{ y }^{ n-3 }{ z }^{ 2 }+......+y{ z }^{ n-2 }+{ z }^{ n-1 }) } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ ({ y }^{ n-1 }+{ y }^{ n-2 }z+......+y{ z }^{ n-2 }+{ z }^{ n-1 }) }  }  } $$

$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ \left[ { (x+h) }^{ 1/n } \right] ^{ n-1 }+\left[ { (x+h) }^{ 1/n } \right] ^{ n-2 }{ x }^{ 1/n }+.........+{ { (x }^{ 1/n }) }^{ n-1 } } =\frac { 1 }{ { x }^{ \frac { n-1 }{ n }  }+{ x }^{ \frac { n-1 }{ n }  }+.........+{ x }^{ \frac { n-1 }{ n }  } }  } $$

$$=\frac { 1 }{ n{ x }^{ 1-\frac { 1 }{ n }  } } =\frac { 1 }{ n } { x }^{ \frac { 1 }{ n } -1 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

$$v)\quad sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad por:\quad f(x)=sen(x)\\ \qquad puesto\quad que:\quad sen(a)+sen(b)=2sen(\frac { a-b }{ 2 } )cos(\frac { a+b }{ 2 } )\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

$${ f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { sen(x+h)-sen(x) }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 2sen(\frac { x+h-x }{ 2 } )cos(\frac { x+h+x }{ 2 } ) }{ h }  }  }  } $$

$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 2 }{ 2 } sen(\frac { h }{ 2 } ) }{ \frac { h }{ 2 }  }  } *\lim _{ h\rightarrow 0 }{ cos(x+\frac { h }{ 2 } ) } =cosx\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

$$vi)\quad sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad por:f(x)=cos(x)\\ \qquad como:\quad cos(a)-cos(b)=-2sen(\frac { a+b }{ 2 } )sen(\frac { a-b }{ 2 } )\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

$${ f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } = } \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { cos(x+h)-cos(x) }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -2sen(\frac { x+h+x }{ 2 } )sen(\frac { x+h-x }{ 2 } ) }{ h }  }  } $$

$$=-\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { sen(\frac { h }{ 2 } ) }{ \frac { h }{ 2 }  }  } *\lim _{ h\rightarrow 0 }{ sen(x+\frac { h }{ 2 } ) } =-1*sen(x)=-senx\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

La Función Derivada.- 
$$Sea:\quad f\quad una\quad función\quad derivable\quad en\quad (a,b),\quad se\quad llama\quad función\quad derivada\\ de\quad la\quad funcion\quad f\quad y\quad se\quad nota\quad { f }^{ ´ }\quad a\quad la\quad función\quad que\quad asocia\quad todo\quad elemento\\ x\quad de\quad (a,b)la\quad derivada\quad de\quad f\quad en\quad el\quad punto\quad x,\quad es\quad decir:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

$${ f }^{ ´ }:(a,b)\quad \rightarrow \quad R\quad \quad \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x\rightarrow { f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h }  } \quad \quad $$