Derivada de la Función Inversa.-

$$Teorema.-\quad Sea\quad f\quad continua\quad y\quad estrictamente\quad monótona\quad en\quad [a,b].\quad Sea\quad g\\ la\quad función\quad inversa\quad de\quad f.\quad Si\quad { f }^{ ´ }(x)\quad existe\quad para\quad todo\quad x\quad \epsilon \quad (a,b)entonces:$$
$${ g }^{ ´ }(y)=\frac { 1 }{ { f }^{ ´ }(x) } =\frac { 1 }{ { f }^{ ´ }({ f }^{ -1 }(y)) } ;\quad { f }^{ ´ }(x)\neq 0;\quad y\quad y=f(x)\quad y\quad x={ f }^{ -1 }(y)$$
Ejemplo.-
$$sea\quad f(x)=3x+2,\quad calcular\quad la\quad derivada\quad de\quad su\quad función\quad inversa\quad \\ Sea\quad g\quad su\quad funcion\quad inversa,\quad entonces\quad por\quad el\quad teorema\quad anterior\quad tenemos:\\ { g }^{ ´ }(y)=\frac { 1 }{ { f }^{ ´ }(x) } =\frac { 1 }{ 3 }$$
$$Derivada\quad de\quad las\quad Funciones\quad Trigonométricas\quad Inversas.-\\ \qquad i)\quad Derivada\quad del\quad Arco\quad Seno,\quad f(x)=arcsenx\\ \qquad { (arcsenx) }^{ ´ }=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }  } ;\quad \left| x \right| <1\\ \qquad ii)\quad Derivada\quad del\quad Arco\quad cosen,\quad f(x)=arccosx\\ \qquad { (arccosx) }^{ ´ }=\frac { -1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }  } ;\quad \left| x \right| <1\\ \qquad iii)\quad Derivada\quad del\quad Arco\quad Tangente,\quad f(x)=arctanx\\ \qquad { (arctanx) }^{ ´ }=\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } ,\quad \forall x\quad \epsilon \quad R\\ \qquad iv)\quad Derivada\quad del\quad Arco\quad Cotangente,\quad f(x)=arccotx\\ \qquad { (arccotx) }^{ ´ }(x)=\frac { -1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } ,\quad \forall x\quad \epsilon \quad R\\ \qquad v)\quad Derivada\quad del\quad Arco\quad Secante,\quad f(x)=arcsecx\\ \qquad { (arcsecx) }^{ ´ }(x)=\frac { 1 }{ \left| x \right| \sqrt { { x }^{ 2 }-1 }  } ;\quad \left| x \right| >1\\ \qquad vi)\quad Derivada\quad del\quad Arco\quad Cosecante,\quad f(x)=arccscx\\ \qquad { (arccscx) }^{ ´ }(x)=\frac { -1 }{ \left| x \right| \sqrt { { x }^{ 2 }-1 }  } ;\quad \left| x \right| >1$$
$$En\quad base\quad a\quad lo\quad anterior\quad y\quad a\quad la\quad regla\quad de\quad la\quad cadena\quad se\quad establece\quad que:\quad \\ y=arcsen[f(x)]=\frac { dy }{ dx } =\frac { { f }^{ ´ }(x) }{ \sqrt { 1-{ [f(x)] }^{ 2 } }  } ;\quad \left| f(x) \right| <1\\ y=arccos[f(x)]=\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ f }^{ ´ }(x) }{ \sqrt { 1-{ [f(x)] }^{ 2 } }  } ;\quad \left| f(x) \right| <1\quad \quad \quad \\ y=arctan[f(x)]=\frac { dy }{ dx } =\frac { { f }^{ ´ }(x) }{ 1+[{ f(x) }]^{ 2 } } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ y=arccot[f(x)]=\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ f }^{ ´ }(x) }{ 1+[{ f(x) }]^{ 2 } } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ y=arcsec[f(x)]=\frac { dy }{ dx } =\frac { { f }^{ ´ }(x) }{ \left| f(x) \right| \sqrt { { [f(x)] }^{ 2 }-1 }  } ;\quad \left| f(x) \right| >1\\ y=arccsc[f(x)]=\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ f }^{ ´ }(x) }{ \left| f(x) \right| \sqrt { { [f(x)] }^{ 2 }-1 }  } ;\quad \left| f(x) \right| >1$$
$$Derivada\quad de\quad la\quad Función\quad Exponencial.-\quad Aplicaremos\quad el\quad teorema\quad de\quad \\ la\quad derivada\quad de\quad la\quad función\quad inversa\quad para\quad calculaar\quad la\quad derivada\quad de\quad \\ la\quad función\quad exponencial,\quad pues\quad es\quad la\quad inversa\quad de\quad la\quad función\quad logaritmo.\\ De\quad y=f(x)={ log }_{ a }x\quad se\quad sigue\quad que:\quad x={ a }^{ y }=g(y)\quad y\quad por\quad tanto:\quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad { g }^{ ´ }(y)=\frac { 1 }{ { f }^{ ´ }(x) } =\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ x } { log }_{ a }e } =\frac { x }{ { log }_{ a }e } =xln(a)={ a }^{ y }ln(a)$$
$$Conclusión:\quad g(y)={ a }^{ y }\Rightarrow { g }^{ ´ }(y)={ a }^{ y }ln(a)\\ \qquad \qquad \qquad \quad g(x)={ a }^{ x }\Rightarrow { g }^{ ´ }(x)={ a }^{ x }ln(a)\quad \quad \quad $$
$$Observaciones.-\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad i)\quad Si:\quad a=e,\quad g(x)={ e }^{ x }\quad entonces\quad { g }^{ ´ }(x)={ e }^{ x }ln(e)={ e }^{ x }\quad \quad \\ \qquad ii)\quad Si:\quad a=10,\quad g(x)={ 10 }^{ x }\quad entonces:\quad { g }^{ ´ }(x)={ 10 }^{ x }ln(10)$$
$$Definición.-\quad sea\quad a>0,\quad x\quad \epsilon \quad R,\quad se\quad define:\quad { a }^{ x }={ e }^{ xln(a) }$$
$$Derivadas\quad de\quad las\quad funciones\quad Hiperbólicas.-\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad i)\quad Derivada\quad del\quad Seno\quad Hiperbólico;\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad \qquad f(x)=senh(x)\quad \Rightarrow \quad { f }^{ ´ }(x)=cosh(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad ii)\quad Derivada\quad del\quad coseno\quad hiperbólico;\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad \qquad f(x)=cosh(x)\quad \Rightarrow \quad { f }^{ ´ }(x)=senh(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$iii)\quad Derivada\quad de\quad la\quad Tangente\quad Hiperbólica.-\quad \\ \qquad \qquad f(x)=tanh(x)\quad \Rightarrow \quad { f }^{ ´ }(x)={ sech }^{ 2 }x$$
$$\qquad iv)\quad Derivada\quad de\quad la\quad cotangente\quad Hiperbólica.-\quad \\ \qquad \qquad f(x)=coth(x)\quad \Rightarrow \quad { f }^{ ´ }(x)=-{ csch }^{ 2 }x\quad $$
$$\qquad v)\quad \quad Derivada\quad de\quad la\quad Secante\quad Hiperbolica.-\quad \quad \quad \quad \\ \qquad \qquad f(x)=sech(x)\quad \Rightarrow \quad { f }^{ ´ }(x)=-sech(x)tgth(x)\quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad vi)\quad Derivada\quad de\quad la\quad Cosecante\quad Hiperbólica;\quad \quad \quad \quad \\ \qquad \qquad f(x)=csch(x)\quad \Rightarrow \quad { f }^{ ´ }(x)=-csch(x)coth(x)\quad \quad \quad \quad \quad $$