INTEGRACION DE $\frac{1}{(X^2+1)^n}$

     Se va a estudiar el caso general de la integral de la forma: $\int \frac{1}{(X^2+1)^n}dx$ 

• Si n=1, sabemos que: $\int \frac{1}{(x^2+1)}dx=arctan(x)+c$ 

• Si n>1, usaremos la integracion por partes. llamaremos: $I_{n}=\int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$  y consideremos: $I_{n-1}$  para obtener el valor de $I_{n}$ en funcion de esta ultima, pues como veremos, al integrar por partes $I_{n-1}$ sube el grado apareciendo entonces el valor de: $I_{n}$.

 $\displaystyle I_{n-1}=\int \frac{dx}{(x^2+1)^{n-1}}$ 

    Entonces: $\displaystyle u=\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}; dv=dx$  luego: $\displaystyle du=-(n-1)\frac{2x}{(x^2+1)^n}dx; v=x$ , se tiene entonces: 

$\displaystyle I_{n-1}=\int \frac{dx}{(x^2+1)^{n-1}}dx=\frac{x}{(x^2+1)}+\int \frac{2(n-1)x^2}{(x^2+1)^n}dx$ 

$\displaystyle =\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{x^2}{(x^2+1)^n}dx$  

$\displaystyle =\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{x^2+1-1}{(x^2+1)^n}dx$ 

$\displaystyle =\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}dx-2(n-1)\int \frac{1}{(x^2+1)}dx$ 

   Es decir que: 

$\displaystyle I_{n-1}=\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+2(n-1)I_{n-1}-2(n-1)I_{n}$ 

$\displaystyle 2(n-1)I_{n}=\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+[2(n-1)-1]I_{n-1}$ 

$\displaystyle 2(n-1)I_{n}=\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1}$ 

   Y finalmente obtenemos: 

$\displaystyle \int \frac{1}{(x^2+1)^n}=\frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}dx; n>1$