AXIOMAS DE ORDEN

     El siguiente grupo de axiomas se refiere a un concepto por el que establecemos una ordenación entre números reales, con los que se pueden establecer cuando un número real es mayor que otro o no. 

    Para esto suponemos que existe un cierto subconjunto $\displaystyle \mathbb{R}^{+}$  de $\displaystyle \mathbb{R}$, llamado conjunto de los números positivos que satisfacen los axiomas siguientes: 

• $\displaystyle x\varepsilon \mathbb{R}^{+}$ 

• $\displaystyle -x\varepsilon \mathbb{R}^{+}$ 

• $\displaystyle x=0$ 

    Si a y b son números reales diremos que "a es menor que b" y notaremos a<b, si $\displaystyle b-a \varepsilon \mathbb{R}^{+}$, si a<b se dice también que b es mayor que a y se escribe b>a.

     Podemos escribir los siguientes axiomas: 

               O1. Si x > 0 e y > 0 entonces $\displaystyle x+y >0$  y $\displaystyle x*y >0$ 

               O2. Para todo numero real x se satisface una y solo una de las tres condiciones siguientes: 

• x > 0
• x < 0
• x = 0

    Al conjunto de números reales x tales que x < 0 se denomina el conjunto de números reales negativos y se nota por $\displaystyle \mathbb{R}^{-}$.

Teorema. - Sean a, b y c números reales:

• Si a < b y b < c entonces a < c. 
• Si a < b entonces a + c < b + c.
• Si a < b y c > 0 entonces $\displaystyle a*c>0$ 
• Si a < b y c < 0 entonces: $\displaystyle a*c<b*c$
• Si a < 0 y b < 0 entonces $\displaystyle a*b > 0$ 
• Si a < 0 y b > 0 entonces $\displaystyle a*b < 0$ 
• Si a es diferente de 0 entonces $\displaystyle a^{2}>0$ 
• 1 > 0
• Si a > 0 entonces $\displaystyle a^{-1}>0$ 
• Si a < a < b entonces $\displaystyle 0<b^{-1}<a^{-1}$