Aplicaciones Geométricas y Mecánicas de la Derivada.

$$Aplicaciones\quad Geométricas\quad y\quad Mecánicas\quad de\quad la\quad Derivada.-\quad Las\quad motivaciones\\ Física\quad y\quad Geométrica\quad de\quad la\quad derivada\quad nos\quad conducen\quad a\quad aplicar\quad la\quad derivada\quad \\ para\quad determinar\quad la\quad recta\quad tangente\quad y\quad la\quad recta\quad normal\quad a\quad una\quad cuerva\quad en\quad un\\ punto\quad dado,\quad asi\quad como\quad la\quad velocidad\quad y\quad la\quad aceleracion\quad de\quad un\quad movil\quad en\quad un\quad \\ instante\quad t,\quad para\quad esto\quad a\quad continuacion\quad damos\quad las\quad siguientes\quad definiciones:\quad \quad $$
$$\qquad i)\quad Si\quad f\quad es\quad derivable\quad en\quad { x }_{ 0 },\quad { f }^{ ´ }({ x }_{ 0 })\quad se\quad denomina\quad pendiente\quad de\quad f\quad en\quad el\\ punto\quad P({ x }_{ 0 };{ f }(x_{ 0 })).\quad La\quad recta\quad que\quad pasa\quad por\quad P\quad y\quad tiene\quad pendiente\quad { f }^{ ´ }({ x }_{ 0 })\quad se\quad \\ denomina\quad la\quad recta\quad tangente\quad a\quad la\quad curva\quad y=f(x)\quad en\quad dicho\quad punto.\quad Su\quad ecua-\\ ción\quad esta\quad dada\quad por:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad \qquad \qquad \qquad y-f({ x }_{ 0 })={ f }^{ ´ }({ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 0 });\quad ecuación\quad de\quad la\quad tangente.$$
$$\qquad Consecuentemente\quad la\quad ecuación\quad de\quad la\quad recta\quad normal\quad a\quad la\quad curva\quad en\quad el\quad \\ punto\quad P\quad es:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \\ \qquad \qquad \qquad \qquad y-f({ x }_{ 0 })=\frac { 1 }{ { f }^{ ´ }({ x }_{ 0 }) } (x-{ x }_{ 0 });\quad ecuación\quad de\quad la\quad normal.$$