DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

     Derivada del seno hiperbolico: 

 Sea: $f(x)=\sinh =\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$. Se sigue entonces que: ${f}'(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})=\cosh (x)$  

 De manera analoga demuestra la derivada donde: $f(x)=cosh(x)$   donde: ${f}'(x)=senh(x)$ 

    Derivada de la tangente Hiperbolica: 

 Sea: $f(x)=tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ entonces: 

${f}'(x)=\frac{(e^x+e^{-x})(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2}$ 

$=\frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2}$  

$=\frac{(e^x+e^{-x}+e^x-e^{-x})(e^x+e^{-x}-e^x+e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2}$  

$=\frac{(2e^x)(2e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2}$   $= (\frac{2}{e^x+e^{-x}})^2$  $=sech^{2}(x)$ 

De manera similar se demuestra la derivada donde: $f(x)=coth(x)$ donde: ${f}'(x)=-csch(x)$ 

   Derivada de la Secante Hiperbolica: 

Sea: $f(x)=sech(x)=\frac{1}{cosh(x)}$  entonces: 

${f}'(x)=\frac{(cosh(x)*0)-(1*senh(x))}{cosh^{2}(x)}=-\frac{senh(x)}{cosh(x)}*\frac{1}{cosh(x)}$ 

$=-sech(x)tgth(x)$ 

    De manera similar se demuestra la derivada donde: $f(x)=csch(x)$  entocnes: ${f}'(x)=-csch(x)coth(x)$ 

Generalizando las derivadas de las funciones trigonometricas hiperbolicas compuesta por la regla de la cadena tenemos: