PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

   La integral indefinida enuncia las siguientes propiedades:

•  $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$ 

• $\int \alpha f(x)dx=\alpha \int f(x)dx, \alpha =cte$ 

   Ejemplo:  

   Calcular:

•  $\int (\sqrt{x}+e^x)dx$ 

$\int (\sqrt{x}+e^x)dx=\int \sqrt{x}dx+\int e^xdx$  

 

$=\int x^{\frac{1}{2}}dx+\int e^xdx$  

 

$=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+e^x+c$  

 

   Ya que se ha definido la integral indefinida como la operacion inversa de la diferenciacion se sigue que: $\int df=f+c$ , en donde df representa la diferencial de la funcion f y c es una constante. 

 

   Resultado que permite establecer a su vez lo siguiente: 

 

• $\int [{f}'(x)+{g}'(x)]dx=f(x)+g(x)+c$ 

• $\int [{f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)]dx=f(x)g(x)dx$  

• $\int [\frac{{f}'(x)g(x)-f(x){g}'(x)}{g^2(x)}]dx=\frac{f(x)}{g(x)}+c$ 

• $\int {f}'(g(x)){g}'(x)dx=f(g(x))+c$  

   Gracias a estos antecedentes y recordando las formulas de las derivadas compuestas podemos establecer la siguiente tabla de integrales indefinidas: 

•  $\int u^\alpha du=\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}; \alpha \varepsilon \mathbb{R}; \alpha \neq -1$ 

• $\int \frac{du}{u}=ln(u)+c$ 

• $\int cos(u)du=sen(u)+c$  

• $\int sen(u)du=-cos(u)+c$ 

• $\int sec^2(u)du=tan(u)+c$  

• $\int csc^2(u)du=cot(u)+c$ 

• $\int sec(u)tan(u)du=sec(u)$  

• $\int csc(u)cot(u)du=-csc(u)$ 

• $\int e^udu=e^u+c$  

• $\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=arcsen(u)+c=-arccos(u)+k$ 

•  $\int \frac{1}{1+u^2}du=arctan(u)+c=-arcot(u)+k$ 

• $\int a^uln(a)du=a^u+c$ 

• $\int cosh(u)du=senh(u)+c$  

• $\int senh(u)du=cosh(u)+c$ 

• $\int sech^2(u)du=tanh(u)+c$  

• $\int csch^2(u)du=-coth(u)+c$ 

• $\int sech(u)tanh(u)du=-sech(u)+c$  

• $\int csch(u)coth(u)du=-csch(u)+c$ 

 

   Ejemplos: 

 

•       Evaluar: $\int (\frac{sen(x)-xcos(x))}{sen^2(x)})dx$ 

 

   Si observamos en las integrales mostradas anteriormente no existe una similar a esta expresion, pero bien si recordamos un problema de calculo diferencial con la funcion: $f(x)=\frac{x}{senx}$ , entonces observamos: 

 

${f}'(x)=\frac{sen(x)-xcos(x)}{sen^2(x)}$  

   De manera inmediata se concluye: 

$\int (\frac{sen(x)-xcos(x)}{sen^2(x)})dx=\frac{x}{sen(x)}$ 

• Evaluar: $\int (e^x+xe^x)dx$ 

      De manera similar si recordamos la expresion:$f(x)=xe^x$  y observamos: 

  

${f}'(x)=e^x+xe^x$  

   De manera inmediata se concluye: 

$\int (e^x+xe^x)dx=xe^x+c$