FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS

•      Sea $\displaystyle f:A\rightarrow B$ una función, se dice que f es inyectiva si, 

$\displaystyle \forall x_{1}, x_{2}\varepsilon A$, $\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$ 

     Es decir que f es inyectiva si, a elementos diferentes de A corresponden elementos diferentes de B. 

     O en su forma equivalente, f es inyectiva si y solo si: $\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.

• Sea $\displaystyle f:A\rightarrow B$  una función, se dice que f es sobreyectiva o suryectiva si: 

$\displaystyle \forall y\varepsilon B$  existe $\displaystyle x\varepsilon A$  tal que: $\displaystyle y=f(x)$.

     Es decir que f es sobreyectiva si no existen en B elementos que no sean imagenes de ningún elemento de A. 

• Sea $\displaystyle f:A\rightarrow B$ una función, f se dice biyectiva si a la vez es inyectiva y sobreyectiva. Es decir cuando todo elemento $\displaystyle y_{0}$ del conjunto de llegada B tiene exactamente un único antecedente $\displaystyle x_{0}\varepsilon A$ .

Ejemplo: 

Consideremos la relación $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ tal que: $\displaystyle x\rightarrow f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$ 

     a) es f una función de $\displaystyle \mathbb{R}$  en $\displaystyle \mathbb{R}^{+}$ 

     b) es f inyectiva

     c) es f sobreyectiva

     d) es f biyectiva 

a) La función f esta definida para todo valor $\displaystyle x\varepsilon \mathbb{R}$ habria problemas si: $\displaystyle x^{2}+ñ1=0$, pero ello no es posible pues $\displaystyle \forall x\varepsilon \mathbb{R}, x^{2}\geq 0; x^{2}+1\geq 0$.

b) Para que sea inyectiva debe cumplirse que: $\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$, en este caso tenemos: 

$\displaystyle \frac{1}{x_{1}^{2}+1}=\frac{1}{x_{2}^{2}+1}\Rightarrow x_{2}^{2}+1=x_{1}^{2}+1\Rightarrow x_{1}^{2}=x_{2}^{2}\Rightarrow \left | x_{1} \right |=\left | x_{2} \right |\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$ 

     Consecuentemente la función no es inyectiva y consecuentemente no podrá ser biyectiva. 

c) Sea $\displaystyle y_{0}\varepsilon \mathbb{R}^{+}$ y supongamos que para algun $\displaystyle x_{0}\varepsilon \mathbb{R}$ tal que $\displaystyle y_{0}=f(x_{0})$  se sigue entonces que $\displaystyle y_{0}=f(x_{0})\Leftrightarrow y_{0}=\frac{1}{x_{0}^{2}+1}$ , de donde $\displaystyle x_{0}^{2}+1=\frac{1}{y_{0}}$  y por lo tanto: $\displaystyle x_{0}^{2}=\frac{1}{y_{0}}-1$. Para que tal $\displaystyle x_{0}$  exista debe cumplirse que $\displaystyle \frac{1}{y_{0}}-1\geq 0$ es decir que $\displaystyle \frac{1}{y_{0}}\geq 1$, o lo que es lo mismo $\displaystyle 0\leq y_{0}\leq 1$ , es decir que toma valores únicamente en el intervalo $\displaystyle ]0,1 ]$, y en consecuencia no es sobreyectiva pues el conjunto de llegada es $\displaystyle \mathbb{R}^{+}$, para que la función fuese sobreyectiva debemos sobreescribir la función de tal manera que: 

$\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow$ ]0,1]

$\displaystyle x\rightarrow f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$