METODO DE INTEGRACION POR PARTES

     Sea h la función definida por: $h(x)=f(x)g(x)$, donde f y g son derivables. la derivada del producto de dos funciones dice que: 

${h}'(x)={f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)$  

     Es decir que h(x) es una primitiva de: ${h}'(x)={f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)$, entonces: 

$\int [{f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)]dx=h(x)+c=f(x)g(x)+c$  

     Por las propiedades de la integral se sigue que: 

$\int {f}'(x)g(x)+\int f(x){g}'(x)=f(x)g(x)+c$  ; de donde: 

$\int f(x){g}'(x)=f(x){g}'(x)-\int {f}'(x)g(x)dx+c$  

     De manera analoga se define la formula de integracion por partes para integrales definidas como: 

$\int_{a}^{b}f(x){g}'(x)=f(x){g}'(x)_{a}^{b}- \int_{a}^{b}{f}'(x)g(x)dx$  

     Bien si ahora hacemos lo siguiente: 

$u=f(x); v=g(x)$  entonces: $du={f}'(x)dx; dv={g}'(x)dx$ y entonces dicha formula se transforma: 

$\int udv=uv-\int udv+c$  

Ejemplos: 

• Calcular: $\int xsen(x)dx$ 

  Si hacemos: $u=sen(x); dv=sen(x)dx$  se sigue que: $du=dx; v=-cos(x)$, aplicando la formula de integracion por partes se tiene: 

$\int xsen(x)dx=-xcos(x)-\int (-cos(x))dx$ 

$=-xcos(x)+\int (cos(x))dx$ 

$=-xcos(x)+sen(x)+c$

• Calcular: $\int sen^2(x)dx$ 

  Podemos reescribir la ecuacion como: $\int sen^2(x)dx=\int sen(x)sen(x)dx$ 

$du=cos(x)dx; v=-cos(x)$, luego: 

$\int sen(x)sen(x)dx=-sen(x)cos(x)-\int (-cos(x))cos(x)dx$  

$=-sen(x)cos(x)+\int cos^2(x)dx$  

$=-sen(x)cos(x)+\int (1-sen^2(x))dx$  

$=-sen(x)cos(x)+\int dx-\int sen^2(x)dx$  

   es decir: $=-sen(x)cos(x)+\int dx-\int sen^2(x)dx$  de donde: 

$2\int sen^2(x)=-sen(x)cos(x)+\int dx$  y por tanto: 

 

$\int sen^2(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}sen(x)cos(x)+c$