INTEGRACION POR SUSTITUCIÓN

     Este método permite calcular integrales de la forma: 

$\int f(g(x)){g}'(x)dx$  

     Para ello, supongamos que P es una primitiva de f; es decir: ${P}'(x)=f(x)$, luego: 

$\int f(x)dx=P(x)+c$  

     La misma que a su vex nos conduce a una expresion mas general, ya que P o g es una primitiva de: $(f o g){g}'$, en efecto: 

${(P o g)}'(x)={P}'(g(x)){g}'(x)$  

 $=f(g(x)){g}'(x)$ 

     Por lo tanto: 

$\int f(g(x)){g}'(x)dx=P(g(x))+c$  

     Ahora para hacer mas sencilla la práctica los mas comun es hacer lo siguiente, tomamos $u=g(x)$ y entonces: $du={g}'(x)dx$, en cuyo caso: $\int f(g(x)){g}'(x)dx$ toma la forma: $\int f(u)du$, es decir la integral se ha transformado en su forma mas simple y se la puede apreciar mejor. 

Ejemplos: 

•   Calcular:  $\int \frac{1}{xln(x)}dx$ 

    Si procedemos como se menciono anteriormente y ademas notamos lo siguiente: 

si hacemos: $u=ln(x)$ entonces: $du=\frac{1}{x}dx$ 

   Y si observamos la integral que planteamos contamos con las herramientas suficientes para realizar el procedimiento de integracion por sustitución de la siguiente manera: 

$\int \frac{1}{xln(x)}dx=\int \frac{1}{u}du$  

   Funcion de la cual conocemos su primitiva la cual es: $ln(u)$, de esta manera obtenemos: 

$\int \frac{1}{u}du=ln(u)$ 

   bien ahora se observa que se nos presento una integral cuya funcion  esta en funcion de x, y en el resultado obtenido lo obtuvimos en funcion de u. Para obtener el resultado en función de x basta con realizar la sustitución de $u=g(x)$ , misma que utilizamos al principio. obteniendo de esta manera el siguiente resultado: 

$\int \frac{1}{u}du=ln(u)=ln(ln(x))$  

• Calcular: $\int cot(x)dx$ 

      Reescribimos la integral de la siguiente manera: $\int cot(x)dx=\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx$ 

      Ahora hacemos la siguiente sustitucion: $u=sen(x); du=cos(x)dx, y obtenemos: 

$\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx=\int \frac{1}{u}du$  

    y como: $\int \frac{1}{x}dx=ln(x)$ , se tiene: 

$\int \frac{1}{u}du=ln(u)+c$ 

    Realizando la respectiva sustitucion tenemos: 

$\int cot(x)dx=ln(sen(x))+c$ 

   Bien ahora se plantea el problema de resolver una integral definida, lo cual gracias al segundo teorema fundamental del calculo resultaria algo bastante sencillo si se puede resolver la integral indefinida como en el siguiente ejemplo: 

• Calcular: $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sen(x)cos(x)dx$ 

   Para mayor comodidad al momento de resolver nos planteamos simplemente: $\int sen(x)cos(x)dx$ 

 

   Lo cual resulta bastante sencillo pues si hacemos la sustitución: $u=sen(x); du=cos(x)dx$ 

 

   Se obtiene la integral: $\int udu=\frac{u^{2}}{2}+c$ , que se resuelve de manera inmediata. y finalmente se realiza la sutitución: $\int sen(x)cos(x)dx=\frac{sen^2(x)}{2}+c$ 

 

   Ahora procedemos a escribir la integral definida como muestra el segundo teorema fundamental del calculo: $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sen(x)cos(x)dx=(\frac{sen^2(x)}{2})_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ 

 

   Cuando realizamos esto se omite la constante c, puesto que se eliminaria posteriormente al momento de realizar las operaciones respectivas. como resultado tenemos: 

 

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sen(x)cos(x)dx=\frac{1}{2}(sen^2(\frac{\pi }{2})-sen^2(0))=\frac{1}{2}$