FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS

•      Sea $\displaystyle f:A\rightarrow B$ una función, se dice que f es inyectiva si, 

$\displaystyle \forall x_{1}, x_{2}\varepsilon A$, $\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$ 

     Es decir que f es inyectiva si, a elementos diferentes de A corresponden elementos diferentes de B. 

     O en su forma equivalente, f es inyectiva si y solo si: $\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.

• Sea $\displaystyle f:A\rightarrow B$  una función, se dice que f es sobreyectiva o suryectiva si: 

$\displaystyle \forall y\varepsilon B$  existe $\displaystyle x\varepsilon A$  tal que: $\displaystyle y=f(x)$.

     Es decir que f es sobreyectiva si no existen en B elementos que no sean imagenes de ningún elemento de A. 

• Sea $\displaystyle f:A\rightarrow B$ una función, f se dice biyectiva si a la vez es inyectiva y sobreyectiva. Es decir cuando todo elemento $\displaystyle y_{0}$ del conjunto de llegada B tiene exactamente un único antecedente $\displaystyle x_{0}\varepsilon A$ .

Ejemplo: 

Consideremos la relación $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ tal que: $\displaystyle x\rightarrow f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$ 

     a) es f una función de $\displaystyle \mathbb{R}$  en $\displaystyle \mathbb{R}^{+}$ 

     b) es f inyectiva

     c) es f sobreyectiva

     d) es f biyectiva 

a) La función f esta definida para todo valor $\displaystyle x\varepsilon \mathbb{R}$ habria problemas si: $\displaystyle x^{2}+ñ1=0$, pero ello no es posible pues $\displaystyle \forall x\varepsilon \mathbb{R}, x^{2}\geq 0; x^{2}+1\geq 0$.

b) Para que sea inyectiva debe cumplirse que: $\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$, en este caso tenemos: 

$\displaystyle \frac{1}{x_{1}^{2}+1}=\frac{1}{x_{2}^{2}+1}\Rightarrow x_{2}^{2}+1=x_{1}^{2}+1\Rightarrow x_{1}^{2}=x_{2}^{2}\Rightarrow \left | x_{1} \right |=\left | x_{2} \right |\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$ 

     Consecuentemente la función no es inyectiva y consecuentemente no podrá ser biyectiva. 

c) Sea $\displaystyle y_{0}\varepsilon \mathbb{R}^{+}$ y supongamos que para algun $\displaystyle x_{0}\varepsilon \mathbb{R}$ tal que $\displaystyle y_{0}=f(x_{0})$  se sigue entonces que $\displaystyle y_{0}=f(x_{0})\Leftrightarrow y_{0}=\frac{1}{x_{0}^{2}+1}$ , de donde $\displaystyle x_{0}^{2}+1=\frac{1}{y_{0}}$  y por lo tanto: $\displaystyle x_{0}^{2}=\frac{1}{y_{0}}-1$. Para que tal $\displaystyle x_{0}$  exista debe cumplirse que $\displaystyle \frac{1}{y_{0}}-1\geq 0$ es decir que $\displaystyle \frac{1}{y_{0}}\geq 1$, o lo que es lo mismo $\displaystyle 0\leq y_{0}\leq 1$ , es decir que toma valores únicamente en el intervalo $\displaystyle ]0,1 ]$, y en consecuencia no es sobreyectiva pues el conjunto de llegada es $\displaystyle \mathbb{R}^{+}$, para que la función fuese sobreyectiva debemos sobreescribir la función de tal manera que: 

$\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow$ ]0,1]

$\displaystyle x\rightarrow f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$ 

FUNCIONES O APLICACIONES

     Sean A y B dos conjuntos. A cada elemento de A le corresponde asociar un único elemento de B, tal asociación se le llama aplicación o función de A en B

     Entonces: se define una función o aplicación f de un conjunto A en un conjunto B, como un subconjunto de A x B tal que a cada elemento de A se hace corresponder un único elemento de b que llamaremos imagen del elemento x por la ley f y denotaremos por: $\displaystyle y=f(x)$ 

 

     

      Es decir que f es una función de A en B si: 

• $\displaystyle f\subset AxB$ 
• $\displaystyle (x,y)\varepsilon f$  y $\displaystyle (x, {y}')\varepsilon f\Rightarrow y={y}'$ 

La parte 2 de la definición de función nos dice que si f es función, en f no puede existir dos pares ordenados con primeras componentes iguales o lo que es lo mismo a un elemento de A no le pueden corresponder dos o mas elementos del conjunto B.  

     Notación: 

$\displaystyle f:A\rightarrow B$ 

                  $\displaystyle x\rightarrow y=f(x)$ 

    El conjunto A se denomina el dominio de la función f y se nota por dom(f). El conjunto de B se denomina el conjunto de llegada de f.

AXIOMAS DE ORDEN

     El siguiente grupo de axiomas se refiere a un concepto por el que establecemos una ordenación entre números reales, con los que se pueden establecer cuando un número real es mayor que otro o no. 

    Para esto suponemos que existe un cierto subconjunto $\displaystyle \mathbb{R}^{+}$  de $\displaystyle \mathbb{R}$, llamado conjunto de los números positivos que satisfacen los axiomas siguientes: 

• $\displaystyle x\varepsilon \mathbb{R}^{+}$ 

• $\displaystyle -x\varepsilon \mathbb{R}^{+}$ 

• $\displaystyle x=0$ 

    Si a y b son números reales diremos que "a es menor que b" y notaremos a<b, si $\displaystyle b-a \varepsilon \mathbb{R}^{+}$, si a<b se dice también que b es mayor que a y se escribe b>a.

     Podemos escribir los siguientes axiomas: 

               O1. Si x > 0 e y > 0 entonces $\displaystyle x+y >0$  y $\displaystyle x*y >0$ 

               O2. Para todo numero real x se satisface una y solo una de las tres condiciones siguientes: 

• x > 0
• x < 0
• x = 0

    Al conjunto de números reales x tales que x < 0 se denomina el conjunto de números reales negativos y se nota por $\displaystyle \mathbb{R}^{-}$.

Teorema. - Sean a, b y c números reales:

• Si a < b y b < c entonces a < c. 
• Si a < b entonces a + c < b + c.
• Si a < b y c > 0 entonces $\displaystyle a*c>0$ 
• Si a < b y c < 0 entonces: $\displaystyle a*c<b*c$
• Si a < 0 y b < 0 entonces $\displaystyle a*b > 0$ 
• Si a < 0 y b > 0 entonces $\displaystyle a*b < 0$ 
• Si a es diferente de 0 entonces $\displaystyle a^{2}>0$ 
• 1 > 0
• Si a > 0 entonces $\displaystyle a^{-1}>0$ 
• Si a < a < b entonces $\displaystyle 0<b^{-1}<a^{-1}$ 

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NÚMEROS REALES

      Teorema. - el elemento 0 es unio. dicho elemento se denomina el modulo o el elemento neutro para la suma. 

     Teorema. - El elemento -x es único, dicho elemento se denomina el opuesto aditivo de x.

     Teorema. - Sean a, b, c números reales. Si $\displaystyle a+c=b+c$  entonces $\displaystyle a=b$. 

     Corolario. - Para todo real x, $\displaystyle -(-x)=x$ 

     Teorema. - El elemento 1 es único. Dicho elemento se denomina modulo para el producto o el elemento unidad. 

     Teorema. - Si $\displaystyle x\neq 0$  el elemento $\displaystyle x^{-1}$ es único, dicho elemento se denomina el opuesto multiplicativo de x o el inverso de x. 

      Teorema. - si a es un numero real cualquiera entonces: $\displaystyle 0*a=0$ 

      Teorema. - Sean a, b, c números reales con $\displaystyle c\neq 0$. si: $\displaystyle ac=bc$  entonces:  a =b. 

     Teorema. - sean a, b, c y d números reales cualesquiera, se tiene que: 

$\displaystyle (-a)b=-(ab)$ 

$\displaystyle (-a)(-b)=ab$ 

Si $\displaystyle ab=0$  entonces: $\displaystyle a=0$  o $\displaystyle b=0$ 

$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$  con: $\displaystyle b\neq 0; d\neq 0$ 

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

     En el sistema de los números reales se cumplen las siguientes propiedades:

• $\displaystyle x+y=y+x$     ley conmutativa

• $\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)$             ley asociativa

• Existe un numero real que lo notaremos con el símbolo 0 tal que: para todo $\displaystyle x\varepsilon \mathbb{R}$ se tiene que: 

$\displaystyle x+0=0+x=x$    Ley Modulativa

• Para todo numero real x existe un numero real que lo notaremos con -x tal que: 

$\displaystyle x+(-x)=(-x)+x=0$    ley del opuesto

• $\displaystyle x*y=y*x$    ley conmutativa

• $\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$    ley asociativa

• Existe un numero real que lo notaremos por 1, tal que para todo $\displaystyle x\varepsilon \mathbb{R}$ se tiene que: 

$\displaystyle x*1=1*x=x$    ley modulativa

• Para todo numero real $\displaystyle x\neq 0$ existe un numero real que lo notaremos por $\displaystyle x^{-1}$  tal que: 

$\displaystyle x*x^{-1}=x^{-1}*x=1$    ley del inverso

• Cualquiera que sean los números reales x, y, z se tiene: 

$\displaystyle x*\left ( y+z \right )=x*y+x*z$ 

     Estos 9 axiomas dotan al conjunto de números reales con la operación suma y producto de una estructura algebraica que se llama cuerpo. 

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

     El sistema de los números reales es presentado gracias a la necesidad de un sistema mas extenso de un sistema de numeración pues, históricamente los sistemas de numeración ha aparecido de la siguiente manera:

• El sistema de los números naturales definidos como: $\displaystyle \mathbb{N}=\left \{ 0,1,2... \right \}$. que conlleva todos los números positivos incluido el 0. 

• Con el tiempo se presenta un problema como por ejemplo: x + 3 = 2, si se desea resolver dicha ecuación se observa que en los números reales no tiene solución, Por lo que  hay la necesidad de crear un nuevo sistema de numeración definido como los números enteros: $\displaystyle \mathbb{Z}=\left \{ ...,-2,-1,0,1,2,... \right \}$. Que abarca los números tanto positivos como negativos.

• Ahora si bien es cierto el sistema de los números enteros solucionaba muchos mas problemas que el sistema de los números naturales, aparece otro problema en la siguiente ecuación: 2x= 1 donde resulta imposible hallar solución en los números enteros, por lo que se definen los números racionales: $\displaystyle \mathbb{Q}=\left \{ \frac{a}{b}: a\varepsilon \mathbb{Z} y b\varepsilon \mathbb{Z}\right \}$  con b distinto de 0. 

• Aun así este sistema se encontraba incompleto, así por ejemplo: $\displaystyle r^{2}=2$ no se satisface por ningún numero racional, definiendo el sistema de los números irracionales, 

     La unión de los sistemas de numeración de números racionales e irracionales resulta en un nuevo sistema conocido como sistema de números reales, es decir en este sistema abarca los números enteros, naturales, racionales, e irracionales, permitiendo encontrar solución para casi toda ecuación o problema propuesto. 

INTEGRALES DE LA FORMA $\displaystyle \int R\left ( x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right )$

    Para resolver integrales de esta forma se utiliza la sustitución $\displaystyle y=\sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+d}}$, de donde se sigue que: $\displaystyle x=\frac{b-dy^{m}}{cy^{m}-a}$  y $\displaystyle dx=\frac{ad-bc}{(cy^{m}-a)^{2}}my^{m-1}dy$.

Ejemplo: 

     Calcular: $\displaystyle \int \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}\frac{dx}{x}$ 

En este caso tomando: $\displaystyle y=\sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$, se sigue que: $\displaystyle x=\frac{2(y^{2}-1)}{y^{2}+1}$  y $\displaystyle dx=8\frac{y}{(y^{2}+1)^{2}}dy$ y en consecuencia: 

$\displaystyle \int \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}\frac{dx}{x}=\int y.\frac{8\frac{y}{(y^{2}+1)^{2}}dy}{\frac{2(y^{2}-1)}{y^{2}+1}}=4\int \frac{y^{2}}{(y^{2}+1)(y^{2}-1)}dy$ 

$\displaystyle =4\int \frac{y^{2}+1-1}{(y^{2}+1)(y^{2}-1)}dy=4\int \frac{1}{y^{2}-1}dy-4\int \frac{1}{(y^{2}+1)(y^{2}-1)}dy$ 

$\displaystyle =4\int\frac{1}{(y-1)(y+1)} dy-\int \frac{1}{(y-1)(y+1)(y^{2}+1)}dy$ 

$\displaystyle 2\int \frac{1}{y-1}dy-2\int \frac{dy}{y+1}-4\left [ \int \frac{\frac{1}{4}}{y-1}dy-\int \frac{\frac{1}{4}}{y+1}dy-\frac{1}{2}\int \frac{dy}{y^{2}+1} \right ]$ 

$\displaystyle 2ln\left | y-1 \right |-2ln\left | y+1 \right |-ln\left | y-1 \right |+ln\left | y+1 \right |+2arctan(y)+c$ 

$\displaystyle =ln\left | y-1 \right |-ln\left | y+1 \right |+2arctan(y)+c$ 

$\displaystyle =ln\left | \frac{y-1}{y+1} \right |+2arctan(y)+c$ 

$\displaystyle =ln\left | \frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}} \right | arctan\left ( \sqrt{\frac{2+x}{2-x}} \right )+ñc$ 

SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS

•   Si la integral es de la forma:    $\displaystyle \int f(x,\sqrt{a^2-x^2})dx$, donde a > 0 y f representa una función de dos variables, entonces, mediante la sustitución: $\displaystyle x=asen(t); dx=acos(t)dt$, dicha integral se transforma a una de la forma: $\displaystyle \int (anse(t), a cos(t))dt$  a $\displaystyle cos(t)dt$, puesto que:

$\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2sen^2(t)}=a\sqrt{1-sen^2(t)}=a cos(t)$ 

     Ejemplo. - Calcular: $\displaystyle \int \frac{x^3dx}{\sqrt{2-x}}$ 

    En este caso usaremos la sustitución: $\displaystyle x=\sqrt{2}sen(t)$  con lo cual $\displaystyle dx=\sqrt{2}cos(t)dt$, y entonces: 

$\displaystyle \int \frac{x^3dx}{\sqrt{2-x^2}}=\int \frac{(\sqrt{8}sen^3(t))(\sqrt{2}cos(t))}{\sqrt{2-2sen^2(t)}}=\sqrt{8}\int \frac{sen^3(t)cos(t)}{cos(t)}dt$ 

$\displaystyle =\sqrt{8}\int sen^3(t)dt=\sqrt{8}\int (1-cos^2(t))sen(t)dt$ 

$\displaystyle =\sqrt{8}\left [ -\int d(cos(t))+\int cos^2(t)d(cos(t)) \right ]$ 

$\displaystyle =\sqrt{8}\left ( -cos(t)+\frac{cos^3(t)}{3} \right )+c$ 

$\displaystyle =-\sqrt{8}cos(t)+\frac{\sqrt{8}}{3}cos^3(t)+c$ 

     De $\displaystyle x=\sqrt{2}sen(t)$, se sigue que: $\displaystyle sen(t)=\frac{x}{\sqrt{2}}$ y en consecuencia: $\displaystyle t=arcsen(\frac{x}{2})$  luego: 

$\displaystyle \int \frac{x^3}{\sqrt{2-x^2}}dx=-\sqrt{8}cos\left ( arcsen\left ( \frac{x}{\sqrt{2}} \right ) \right )+\frac{\sqrt{8}}{3}\left [ cos\left ( arcsen\left ( \frac{x}{\sqrt{2}} \right ) \right ) \right ]^3$ 

$\displaystyle =-\sqrt{8}\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}+\frac{\sqrt{8}}{3}\left [ \sqrt{1-\frac{x^2}{2}} \right ]^3+c$ 

$\displaystyle =-2\sqrt{2-x^2}+\frac{1}{3}\sqrt{(2-x^2)^3}+c$ 

     En esta ultima parte hemos utilizado la formula:  $\displaystyle cos(arcsen(x))=\sqrt{1-x^2}$ 

• Si la integral es de la forma.  $\displaystyle \int f(x,\sqrt{a^2+x^2})dx; a>0$, mediante la sustitución $\displaystyle x=atan(\Theta ); dx=asec^2(\Theta )d\Theta$ dicha integral se transforma en una de la forma: $\displaystyle \int f(atan(\Theta) , asec(\Theta ))asec^2(\Theta )d\Theta$, puesto que: 

$\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+a^2tan^2(\Theta )}=a\sqrt{1+tan^2(\Theta )}=asec(\Theta )$ 

     Con la sustitución utilizada la integral se calcula fácilmente. 

• Si la integral es de la forma $\displaystyle \int f(x,\sqrt{x^2-a^2})dx; a>0$  mediante la sustitución: $\displaystyle x=asec(\Theta ); dx=asec(\Theta )d\Theta$, dicha integral se transforma en una de la forma: $\displaystyle \int f(asec(\Theta ), atan(\Theta ))asec(\Theta )d\Theta$, puesto que: $\displaystyle \sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{a^2sec^2(\Theta )-a^2}=a tan( \Theta )$.

     Ejemplo: 

• Calcular: $\displaystyle \int x^2\sqrt{x^2-a^2}dx$ 

Usando la sustitución: $\displaystyle x=asec(\Theta ); dx=asec(\Theta )tan(\Theta )$, se sigue que: 

$\displaystyle \int x^2\sqrt{x^2-a^2}dx=\int a^2sec^2(\Theta )\sqrt{a^2sec^2(\Theta )-a^2}asec(\Theta )tan(\Theta )d\Theta$ 

$\displaystyle =a^4\int sec^3(\Theta )tan^2(\Theta )d\Theta =a^4\int sec^3(\Theta )(sec^2(\Theta )-1)d\Theta$ 

$\displaystyle =a^4\left [ \int sec^5(\Theta )d\Theta -\int sec^3(\Theta )d\Theta \right ]$ 

$\displaystyle =a^4\left [ \frac{1}{4}tan(\Theta )sec^3(\Theta ) +\frac{3}{8}tan(\Theta )sec(\Theta )+\frac{3}{8}ln\left | sec(\Theta )+tan(\Theta ) \right |-\frac{1}{2}tan(\Theta )sec(\Theta )-\frac{1}{2}ln\left | sec(\Theta ) +tan(\Theta )\right |\right ]+c$ 

$\displaystyle =a^4\left [ \frac{1}{4} tan(\Theta )sec^3(\Theta )-\frac{1}{8}tan(\Theta )sec(\Theta )-\frac{1}{8}ln\left | sec(\Theta )+tan(\Theta ) \right |\right ]+c$ 

     Como: $\displaystyle x=asec(\Theta )\Rightarrow sec(\Theta )=\frac{x}{a}$, se sigue que: $\displaystyle tan(\Theta )=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$. se arma el triangulo rectángulo y se tiene que: 

$\displaystyle \int x^2\sqrt{x^2-a^2}dx=a^4\left \{ \left [ \frac{1}{4}\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}\frac{x^3}{a^3} \right ]-\frac{1}{8}\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}\frac{x}{a} -\frac{1}{8}ln\left | \frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} \right |\right \}+c$ 

$\displaystyle =\frac{1}{4}x^3\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{8}x\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^4}{8}ln\left | \frac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a} \right |+c$ 

INTEGRACION DE FUNCIONES HIPERBOLICAS

     La integración de este tipo de funciones se lo hace de manera análoga a la integración de funciones trigonométricas. 

    De igual manera deben recordarse las siguientes identidades de la trigonometría hiperbólica: 

• $\displaystyle cosh^2(x)-senh^2(x)=2$ 

• $\displaystyle senh^2(x)=\frac{1}{2}(cosh(2x)-1)$ 

• $\displaystyle cosh^2(x)=\frac{1}{2}(cosh(2x)+1)$ 

• $\displaystyle senh(x)cosh(x)=\frac{1}{2}sen(2x)$ 

Ejemplos: 

• Calcular: $\displaystyle \int senh^3(x)dx$ 

$\displaystyle \int senh^3(x)dx=\int senh^2(x)sen(x)dx$ 

$\displaystyle =\int (cosh^2(x)-1)senh(x)dx$ 

$\displaystyle =\int cosh^2(x)senh(x)dx-\int senh(x)dx$ 

$\displaystyle =\int cosh^2(x)d(cosh(x))-\int d(cosh(x))dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{3}cosh^3(x)-cosh(x)+c$ 

• Calcular: $\displaystyle \int \frac{dx}{senh^2(x)cosh^2(x)}$ 

$\displaystyle \int \frac{dx}{senh^2(x)cosh^2(x)}=\int \frac{dx}{\frac{1}{4}senh^2(2x)}=4\int cosh^2(2x)dx$ 

$\displaystyle =-2coth(2x)+c$ 

INTEGRALES DE UN POLINOMIO EN sen(x) Y cos(x)

     Es decir integrales de la forma: $\displaystyle \int sen^p(x)cos^q(x)dx$ 

PRIMER CASO. 

      Únicamente uno de los exponentes es impar. 

•  supongamos que p es impar,entonces: $\displaystyle p=2n+1; n\varepsilon \mathbb{Z}^+$  y entonces: 

 $\displaystyle \int sen^p(x)cos^q(x)dx=\int (sen(x))^{2n+1}cos^q(x)dx$ 

$\displaystyle =\int sen^{2n}(x)sen(x)cos^q(x)dx$  

$\displaystyle =\int (1-cos^2(x))^nsen(x)cos^q(x)dx$  

     Si hacemos u=cos(x) entonces se sigue que: du=-sen(x )dx y: $\displaystyle \int (1-cos^2(x))^nsen(x)cos^q(x)dx=-\int (1-u^2)^nu^qdu$ , integral que se calcula de manera sencilla.

•  si q es impa, $\displaystyle q=2n+1, n\varepsilon \mathbb{Z}^+$, entonces: 

 $\displaystyle \int sen^p(x)sen^q(x)dx=\int sen^p(x)cos(x)^\left \{ 2n+1 \right \}dx$ 

$\displaystyle =\int sen^p(x)(cos(x))^{2n+1}dx$ 

$\displaystyle =\int sen^p(x)(1-sen^2(x))^ncos(x)dx$ 

     Tomando u=sen(x), se tiene du = cos(x)dx y entonces: 

$\displaystyle \int sen^p(x)(1-sen^2(x))^ncos(x)dx=\int u^p(1-u^2)^ndu$ 

    Que de igual manera es facil calcularla por lo metodos vistos anteriormente. 

SEGUNDO CASO. - Los dos exponentes son impares, es decir: $\displaystyle p=2n+1, n\varepsilon \mathbb{Z}^+$  y $\displaystyle q=2m+1, m\varepsilon \mathbb{Z}^+$.

     En este caso se tiene: 

$\displaystyle \int sen^p(x)cos^q(x)dx=\int sen^{2n+1}(x)cos^{2m+1}(x)dx$ 

$\displaystyle =\int sen^{2n}(x)cos^{2m}(x)sen(x)cos(x)dx$ 

     como: $\displaystyle sen(x)cos(x)=\frac{1}{2}sen(2x)$, utilizando la sustitucion u=cos(2x) se  sigue que: du = -2sen(2x)dx = -4sen(x)cos(x)dx. y utilizando ademas las identidades trigonométricas

$\displaystyle sen^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}; cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}$, la ultima integral se transforma en : 

$\displaystyle \int sen^{2n}(x)cos^{2n}(x)sen(x)cos(x)dx=-\frac{1}{4}\int \left (\frac{1-u}{2} \right )^n\left ( \frac{1+u}{2} \right )^mdu$ 

: 

     La misma que se calcula fácilmente

TERCER CASO. - Los dos exponentes son pares es decir p=2n, q=2m se tiene que: 

$\displaystyle \int sen^p(x)cos^q(x)dx=\int sne^{2n}(x)cos^{2m}(x)dx$ 

$\displaystyle =\int (sen^2(x))^n(cos^2(x))^mdx$ 

     Utilizando las formulas $\displaystyle sen^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}; cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}$  se sigue que: 

$\displaystyle \frac{1}{2^{n+m}}\int (1-cos(2x))^n(1+cos(2x))^mdx$ 

     Desarrollando $\displaystyle (1-cos(2x))^n(1+cos(2x))^m$ y reemplazando el producto de dos cosenos por una suma de cosenos se obtiene el valor de la integral. 

Ejemplo: 

Clacular: $\displaystyle \int sen^4(x)cos^2(x)dx$ 

$\displaystyle \int sen^4(x)cos^2(x)dx=\int (sen^2(x))^2(cos^2(x))dx=\int \left ( \frac{1-cos(2x)}{2} \right )^2\left ( \frac{1+cos(2x)}{2} \right )dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{8}\int (1-cos^2(2x))(1-cos(2x))dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{8}\int \left [ 1-\frac{1+cos(4x)}{2} \right ](1-cos(2x))dx=\frac{1}{16}\int (1-cos(4x))(1-cos(2x))dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{16}\int [1-cos(4x)-cos(2x)+cos(4x)cos(2x)]dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{16}\int \left [ 1-cos(4x)-cos(2x)+\frac{1}{2}cos(2x)+\frac{1}{2}cos(6x) \right ]dx$ 

$\displaystyle =\frac{1}{16}\int \left [ x-\frac{1}{4}sen(2x)-\frac{1}{4}sen(4x)+\frac{1}{12}sen(6x) \right ]dx$ 

$\displaystyle =\frac{x}{16}-\frac{1}{64}sen(2x)-\frac{1}{64}sen(4x)+\frac{1}{192}sen(6x)+c$ 

. 

     

PRIMITIVA DE UN PRODUCTO DE SENOS Y COSENOS DE FUNCIONES LINEALES DE x

    En esta parte quere,ps calcular integrales indefinidas de la forma: 

• $\displaystyle \int sen(ax+b)sen({a}'x+{b}')dx$ 

• $\displaystyle \int sen(ax+b)cos({a}'x+{b}')dx$ 

• $\displaystyle \int cos(ax+b)cos({a}'x+{b}')dx$ 

   Para dicho calculose aplican las formulas siguientes: 

• $\displaystyle sen(A)sen(B)=\frac{1}{2}\left [ cos(A-B)-cos(A+B) \right ]$ 

• $\displaystyle sen(A)cos(B)=\frac{1}{2}\left [ sen(A-B)+sen(A+B) \right ]$ 

• $\displaystyle cos(A)cos(B)=\frac{1}{2}\left [ cos(A-B)+cos(A+B) \right ]$ 

   Las mismas que nos permiten reemplazar en un producto de senos o de cosenos o de senos y cosenos por una suma o diferencia de senos o de cosenos.

Ejemplo: 

• calcular: $\displaystyle \int sen(2x)cos(3x)sen(5x)dx$ 

       En este caso: $\displaystyle cos(x)cos(3x)=\frac{1}{2}[cos(x-3x)+cos(x+3x)]=\frac{1}{2}[cos(2x)+cos(4x)]$ 

     $\displaystyle cos(x)cos(3x)sen(5x)=\frac{1}{2}[cos(2x)+cos(4x)]sen(5x)$  

      $\displaystyle cos(x)cos(3x)sen(5x)=\frac{1}{2}[cos(2x)sen(5x)+cos(4x)sen(5x)$ 
     
     $\displaystyle cos(x)cos(3x)sen(5x)=\frac{1}{4}[sen(5x-2x)+sen(2x+5x)+sen(5x-4x)+sen(5x+4x)]$ 

     $\displaystyle cos(x)cos(3x)sen(5x)=\frac{1}{4}[sen(3x)+sen(7x)+sen(x)+sen(9x)]$ 

En consecuencia: 

    $\displaystyle \int cos(x)cos(3x)sen(5x)=\int \frac{1}{4}[sen(3x)+sen(7x)+sen(x)+sen(9x)]dx$ 

    $\displaystyle = \frac{1}{4}\left [\int sen(3x)dx +\int sen(7x)dx+\int sen(x)dx+\int sen(9x)dx\right ]$ 

    $\displaystyle = \frac{1}{4}\left [ -cos(x)-\frac{1}{3}cos(3x)-\frac{1}{7}cos(7x)-\frac{1}{9}cos(9x) \right ]+c$ 

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

     
     En esta parte estudiaremos las integrales de la forma: $\displaystyle \int sen^n(x)dx; \int cos^n(x)dx; \int tan^n(x)dx; \int sec^n(x)dx$ 

   Para la resolución de este tipo de integrales se usan las identidades trigonométricas siguientes: 

• $\displaystyle sen^2(x)+cos^2(x)=1$ 

• $\displaystyle 1+tan^2(x)=sec^2(x)$ 

• $\displaystyle 1+cot^2(x)=csc^2(x)$ 

• $\displaystyle cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}$ 

• $\displaystyle sen^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}$ 

• $\displaystyle sen(2x)=2sen(x)cos(x)$  

 

     Integral de la forma: $\displaystyle \int sen^n(x)dx$ 

       Para este tipo de integrales vamos aconsiderar 2 casos:  

1.  Si n es par: entonces n es de la forma $\displaystyle 2q; q\varepsilon \mathbb{Z}$; en cuyo caso se procede de la siguinte manera:

 $\displaystyle \int sen^n(x)dx=\int sen^{2q}(x)dx=\int (sen^2(x))^qdx$  

$\displaystyle =\int \left [ \frac{1-cos(2x)}{2} \right ]^qdx$ 

Ejemplo:

• Calcular: $\displaystyle \int sen^6(x)dx$ 

$\displaystyle \int sen^6(x)dx=\int (sen^2(x))^3dx=\int \left [ \frac{1-cos(2x)}{2} \right ]^3dx$ 

 

$\displaystyle =\frac{1}{8}\int [1-3cos(2x)+3cos^2(2x)-cos^3(2x)]dx$  

 

$\displaystyle =\frac{1}{8}\left [ \int dx-3\int cos(2x)dx+3\int cos^2(2x)dx-\int cos^3(2x)dx \right ]$  

 

$\displaystyle =\frac{1}{8}x-\frac{3}{16}sen(2x)+\frac{3}{8}\int \frac{1-cos(4x)}{2}dx-\frac{1}{8}\int (1-sen^2(2x))*cos(2x)dx$ 

 

$\displaystyle =\frac{1}{8}X-\frac{3}{16}sen(2x)+\frac{3}{16}x+\frac{3}{64}sen(4x)-\frac{1}{8}\left [ \int cos2xdx-\int sen^2(2x)cos(2x)dx \right ]$ 

 

$\displaystyle =\frac{15}{16}x-\frac{3}{16}sen(2x)+\frac{3}{64}sen(4x)-\frac{1}{16}sen(2x)+\frac{1}{16\int sen^2(2x)d(sen(2x))}$ 

 

$\displaystyle =\frac{5}{16}x-\frac{1}{4}sen(2x)+\frac{3}{64}sen(4x)+\frac{1}{48}sen^2(2x)+c$  

 

 

   2. Si n es impar entonces: $\displaystyle n=2q+1;q\varepsilon \mathbb{Z}$, en este caso se procede: 

 

 $\displaystyle \int sen^n(x)dx=\int sen^{2q+1}(x)dx=\int sen^{2q}(x)sen(x)dx$ 

$\displaystyle =\int (sen^2(x))^qsen(x)dx$ 

$\displaystyle =-\int (1-cos^2(x))^qd(cos(x))$ 

   Integral que se la puede resolver de manera muy sencilla con los metodo anteriores de integracion. 

Integral de la forma: $\displaystyle \int tan^n(x)dx$ 

1.  Si n es impar; $\displaystyle n=2q+1; q\varepsilon \mathbb{Z}$ 

$\displaystyle \int tan^n(x)dx=\int (tan(x))^{2q+1}dx=\int (tan^2(x))^qtan(x)dx$ 

 

$\displaystyle =\int (sec^2(x)-1)^qtan(x)dx$  

 

   Integral que se la calcula facilmente desarrollando la expresión $\displaystyle (sec^2(x)-1)^q$  y recordando que: $\displaystyle d(sec(x))=sec(x)tan(x)dx$ 

 

Ejemplo: 

•  $\displaystyle \int tan^5(x)dx$ 

$\displaystyle \int tan^5(x)dx=\int (tan^2(x))^2dx$ 

 

$\displaystyle =\int (sec^2(x)-1)^2tan(x)dx$  

 

$\displaystyle =\int sec^4(x)tan(x)dx-2\int sec^2(x)tan(x)dx+\int tan(x)dx$  

 

$\displaystyle =\int sec^3(x)d(sec(x))-2\int sec(x)d(sec(x))+\int \frac{sen(x)}{cos(x)}dx$  

 

$\displaystyle =\frac{1}{4}sec^4(x)-sec^2(x)-ln\left | cos(x) \right |+c$  

 

    Nota:para calcular $\displaystyle \int cot^n(x)dx$ se procede de manera similar. 

 

 

    2. Si n es par; $\displaystyle n=2q; q\varepsilon \mathbb{Z}$ en cuyo caso: 

 

$\displaystyle \int tan^n(x)dx=\int tan^{2q}(x)dx=\int (tan^2(x))^q$  

 

$\displaystyle =\int (sec^2(x)-1)^qdx$  

 

     Desarrollando $\displaystyle (sec^2(x)-1)^q$  y recordando que: $\displaystyle d(tan(x))=sec^2(x)dx$  se calcula de manera sencilla la integral. 

 

     3. paea calcular $\displaystyle \int sec^n(x)dx$  o $\displaystyle \int csc^n(x)dx$ cuando n es un entero positivo. utilizando integracion por partes se establecen formulas de  reduccionasi: 

 

$\displaystyle \int sec^n(x)dx=tan(x)sec^{n-2}(x)-(n-2)\int sec^{n-2}(x)tan^2(x)dx$  

 

$\displaystyle =tan(x)sec^{n-2}(x)-(n-2)\int (sec^2(x)-1)sec^{n-2}(x)dx$  

 

$\displaystyle =tan(x)sec^{n-2}(x)-(n-2)\int sec^n(x)dx+(n-2)\int sec^{n-2}(x)dx$  

 

     Se sigue entonces que: $\displaystyle (n-2)\int sec^n(x)dx+\int sec^n(x)dx=tan(x)sec^{n-2}(x)+(n-2)\int sec^{n-2}(x)dx$  donde resulta que: 

 

$\displaystyle \int sec^n(x)dx=\frac{1}{n-1}tan(x)sec^{n-2}(x)+\frac{n-2}{n-1}\int sec^{n-2}(x)dx$ 

 

 

INTEGRACION DE $\frac{1}{(X^2+1)^n}$

     Se va a estudiar el caso general de la integral de la forma: $\int \frac{1}{(X^2+1)^n}dx$ 

• Si n=1, sabemos que: $\int \frac{1}{(x^2+1)}dx=arctan(x)+c$ 

• Si n>1, usaremos la integracion por partes. llamaremos: $I_{n}=\int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$  y consideremos: $I_{n-1}$  para obtener el valor de $I_{n}$ en funcion de esta ultima, pues como veremos, al integrar por partes $I_{n-1}$ sube el grado apareciendo entonces el valor de: $I_{n}$.

 $\displaystyle I_{n-1}=\int \frac{dx}{(x^2+1)^{n-1}}$ 

    Entonces: $\displaystyle u=\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}; dv=dx$  luego: $\displaystyle du=-(n-1)\frac{2x}{(x^2+1)^n}dx; v=x$ , se tiene entonces: 

$\displaystyle I_{n-1}=\int \frac{dx}{(x^2+1)^{n-1}}dx=\frac{x}{(x^2+1)}+\int \frac{2(n-1)x^2}{(x^2+1)^n}dx$ 

$\displaystyle =\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{x^2}{(x^2+1)^n}dx$  

$\displaystyle =\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{x^2+1-1}{(x^2+1)^n}dx$ 

$\displaystyle =\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}dx-2(n-1)\int \frac{1}{(x^2+1)}dx$ 

   Es decir que: 

$\displaystyle I_{n-1}=\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+2(n-1)I_{n-1}-2(n-1)I_{n}$ 

$\displaystyle 2(n-1)I_{n}=\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+[2(n-1)-1]I_{n-1}$ 

$\displaystyle 2(n-1)I_{n}=\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1}$ 

   Y finalmente obtenemos: 

$\displaystyle \int \frac{1}{(x^2+1)^n}=\frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}dx; n>1$

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES

     A la expresión: $\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde Py Q son polinómios se denomina funcion racional. 

     Si grado $P\geqslant$ grado Q, al realizar la división de los polinomios se obtiene: $P=QH+R$, con grado R < grado Q. donde la ultima desigualdad es equivalente: 

$\frac{P(x)}{Q(x)}=H(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}$ 

     con grado R(x) < grado Q(x).

    

Ejemplo: 

•  $\frac{x^3+3x^2-5}{x^2+x+2}=(x+2)+\frac{-4x-9}{x^2+x+2}$ 

      Def: Todo polinomio con coeficientes reales siempre se puede representar como un producto de polinomios irreducibles (en R) lineales o cuadraticos con coeficientes reales. 

     Def: Cualquier fracción propia $\frac{P(x)}{Q(x)}$, es decir: (grad P(x)<grad Q(x)), se puede descomponer en la suma de fracciones parciales como sigue: 

     Basandose en estas definiciones se aplica en 4 casos diferentes a la resolución de integrales, a continuación se exponen los casos: 

CASO 1. - El denominador se puede expresar como un producto de factores lineales distintos. Entonces la descomposicion en fracciones parciales de $\frac{P(x)}{Q(x)}$  contiene terminos de la forma: 

     $\frac{A}{ax+b}$  donde A es una constante. para mejor entendimiento se presenta el siguiente ejemplo: 

•  Calcular: $\int \frac{x-2}{(x-1)(x+2)}dx$ 

   Si consideramos la funcion racional: $\frac{x-2}{(x-1)(x+2)}$ tenemos por la definicion anterior que se puede descomponer como: $\frac{x-2}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$  de donde: 

$\frac{x-2}{(x-1)(x+2)}=\frac{(x+2)A+(x-1)B}{(x-1)(x+2)}$  

   Siendo A y B valores a determinarse. de la ultima igualdad se sigue que: 

$x-2=(x+2)A+(x-1)B$ 

   Para encontrar valores de A y B existen dos procedimientos: 

1. Igualar los coeficientes de los terminos correspondientes de los polinomios. Es decir de $x-2=(x+2)A+(x-1)B$ se sigue que: $x-2=(A+B)x+(2A-B)$ , lo cual a su vez implica que: $A+B=1$ y $2A-B=-2$, sumando las dos ecuaciones miembro a miembro se obtiene: $A=\frac{1}{3}$, y al reemplazar el valor de A en cualquiera de las dos ecuaciones se sigue que: $B=\frac{4}{3}$.

          Es decir que la fraccion original se puede expresar como: 

$\frac{x-2}{(x-1)(x+2)}=\frac{-\frac{1}{3}}{x-1}+\frac{\frac{4}{3}}{x+2}$  

      2. Dar valores arbitrarios a la variable para hallar A y B, preferiblemente se dan valores para   los cuales se anulan los factores lineales distintos, asi en el ejemplo tenemos: $x-2=A(x+2)+B(x-1)$.

• si x=1: entonces $1-2=A(1+2)+B(1-1)\Rightarrow -1=3A\Rightarrow A=-\frac{1}{3}$ 
• si x=-2; entonces $-2-2=A(-2+2)+B(-2-1)\Rightarrow -4=-3B\Rightarrow B=\frac{4}{3}$ 

   En consecuencia: 

$\int \frac{x-2}{(x-1)(x+2)}dx=-\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x-1}+\frac{4}{3}\int \frac{dx}{x+2}$ 

$=-\frac{1}{3}ln(x-1)+\frac{4}{3}ln(x+2)+c$ 

$=ln(\frac{(x+2)^4}{x-1})^{\frac{1}{3}} +c$ 

      En general se tiene: 

 $\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x)}{(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})}=\frac{A_{1}}{x-a^{1}}+\frac{A_{2}}{x-a_{2}}+...+\frac{A_{n}}{x-a_{n}}$ 

$\int \frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^{n}\int \frac{A_{i}}{x-a_{i}dx}=\sum_{i=1}^{n}A_{i}ln\left | x-a_{i} \right | +c$

CASO 2. - Cuando el denominador se puede expresar como el producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

   Ejemplo: 

•  Calcular: $\int \frac{x+1}{(x-1)(x+2)^{2}}dx$ 

   En este caso aplicamos lo siguiente: 

$\frac{x+1}{(x-1)(x+2)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x+2)^{2}}+\frac{C}{x+2}$ 

$=\frac{A(x+2)^{2}+B(x-1)+C(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)^2}$ 

   Donde se sigue que: 

$x+1=A(x+2)^2+B(x-1)+C(x-1)(x+2)$ 

Deter,inamos los valores de A B y C de la siguiente manera:

• Si x=2 entonces: -1= -3; luego: B=1/3

• Si x=1 entonces: 2=9A, luego: A=2/9

• Si x=0 entonces: 1= 4A - B - 2C, luego: $C=\frac{1+B-4A}{-2}=-\frac{2}{9}$ 

   En consecuencia: 

 

$\int \frac{x+1}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{2}{9}\int \frac{dx}{x-1}+\frac{1}{3}\int \frac{dx}{(x+2)^2}-\frac{2}{9}\int \frac{dx}{x+2}$  

 

$=\frac{2}{9}ln\left | x-1 \right |+\frac{1}{3}\int (x+2)^{-2}dx-\frac{2}{9}ln\left | x+2 \right |$  

 

$=\frac{2}{9}ln\left | \frac{x-1}{x+2} \right |-\frac{1}{3(x+2)}$  

 

     CASO 3: El denominador tiene factores cuadraticos irreducibles distintos. 

Nota: $ax^2+bx+c$ , no se puede factorizar en $\mathbb{R}$  si: $b^2-4ac< 0$ ; es decir que: $ax^2+bx+c$  es irreducible si: $b^2-4ac< 0$ 0

•  Calcular: $\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)}dx$ 

   En este caso se procede de la siguiente manera:

 

$frac{x}{(x+1)(x^2+1)}dx=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+c}{x^2+1}$ 

 

$=\frac{A(x^2+1)+(Bx+c)(x+1)}{(x+1)(x^2+1)}$  

   De donde:

$x=A(x^2+1)+(Bx+c)(x+1)$

• Si x=-41 entonces: -1 = 2A + (-B+C)(0), luego: -1=2A, donde: A= -1/2

• Si x=0 entonces: 0= A + C

• Si x = 1, entonces: 1= 2A + 2B+2C

   Como: A= -1/2 reemplazamos y tenemos que: C = -A = 1/2; es decir que: C= 1/2

   Se sigue que: $B=\frac{1-2A-2C}{2}\Rightarrow B=\frac{1}{2}$.

   Por lo tanto: 

$\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)}dx=\int \frac{-\frac{1}{2}}{x+1}dx+\int \frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{x^2+1}dx$ 

$=-\frac{1}{2}ln\left | x+1 \right |+\frac{1}{2}\int \frac{x+1}{x^2+1}dx$ 

$=-\frac{1}{2}ln\left | x+1 \right |+\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2+1}$ 

$=-\frac{1}{2}ln\left | x+1 \right |+\frac{1}{2}ln\left | x^2+1 \right |+\frac{1}{2}arctan(x)+c$ 

     CASO 4. - El denominador tiene factores cuadraticos irreducibles algunos de los cuales se repiten.

 

    Ejemplo: 

•  Calcular: $\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)^2}$ 

   Para este caso se procede de la siguiente manera: 

$\frac{x}{(x+1)(x^2+1)^2}=\frac{A}{x+14}+\frac{Bx+c}{(x^2+1)^2}+\frac{Dx+E}{x^2+1}$ 

$=\frac{(x^2+1)^2A+(Bx+C)(x+1)+(Dx+E)(x^2+1)(x+1)}{(x+1)(x^+1)^2}$ 

   De donde: 

$x=A(x^2+1)^2+(Bx+C)(x+1)+(Dx+E)(x^3+x+x^2+1)$ 

$x=(A+D)x^4+(E+D)x^3+(2A+B+E+D)x^2+(B+C+D+E)x+(A+C+E)$ 

   Luego tenemos el sistema de ecuaciones: 

              A+D=0

             E+D=0

2A+B+E+D=0

 B+C+D+E=1

      A+C+E=1

    Donde tras resolver dicho sistema por cualquier metodo que utilicemos se tiene: 

  C=1/2=B

A=-1/4=E

     D=1/4

     Es decir: 

$\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)}dx=-\frac{1}{4}\int \frac{dx}{x+1}+\frac{1}{2}\int \frac{x+1}{(x^2+1)^2}dx+\frac{1}{4}\int \frac{x-1}{x^2+1}dx$ 

 

   Calcularesmos por separado: 

• $\int \frac{dx}{x+1}=ln\left | x+1 \right |+c$ 

• $\int \frac{x-1}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx-\int \frac{dx}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}ln(x^+1)-arctan(x)+C$ 

• $\int \frac{x+1}{(x^2+1)^2}dx=\int \frac{x}{(x^2+1)^2}dx+\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$  

1. $\int \frac{x}{(x^2+1)^2}dx=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{2u}+c=-\frac{1}{2(x^2+1)}+c$ 
2. $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=\int \frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^2}dx=\int \frac{dx}{x^2+1}-\int \frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx$  

         $arctan(x)-\int \frac{x^2}{(x^2+1)^2}$ 

 

   la integral: $\int \frac{x^2dx}{(x^2+1)^2}$ , la calcularemos por partes, tomando para ello: $u=x; dv=\frac{xdx}{(x^2+1)^2}$  de donde: $du=dx; v=\frac{-1}{2(x^2+1)}$, luego: 

 

$\int \frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx=\frac{-x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{(x^2+1)}$  

 

$=\frac{-x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctan(x)+c$  

 

entonces: $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctan(x)+c$ 

 

Entonces resulta: 

 

$\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)^2}dx=-\frac{1}{4}ln\left | x+1 \right |+\frac{1}{2}(\frac{x-1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctan(x))+\frac{1}{4}(\frac{1}{2}ln(x^2+1)-arctan(x))+c$ 

$=\frac{1}{4}(ln\left | \frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} \right |+\frac{x-1}{x^2+1})+c$

 

 

 

METODO DE INTEGRACION POR PARTES

     Sea h la función definida por: $h(x)=f(x)g(x)$, donde f y g son derivables. la derivada del producto de dos funciones dice que: 

${h}'(x)={f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)$  

     Es decir que h(x) es una primitiva de: ${h}'(x)={f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)$, entonces: 

$\int [{f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)]dx=h(x)+c=f(x)g(x)+c$  

     Por las propiedades de la integral se sigue que: 

$\int {f}'(x)g(x)+\int f(x){g}'(x)=f(x)g(x)+c$  ; de donde: 

$\int f(x){g}'(x)=f(x){g}'(x)-\int {f}'(x)g(x)dx+c$  

     De manera analoga se define la formula de integracion por partes para integrales definidas como: 

$\int_{a}^{b}f(x){g}'(x)=f(x){g}'(x)_{a}^{b}- \int_{a}^{b}{f}'(x)g(x)dx$  

     Bien si ahora hacemos lo siguiente: 

$u=f(x); v=g(x)$  entonces: $du={f}'(x)dx; dv={g}'(x)dx$ y entonces dicha formula se transforma: 

$\int udv=uv-\int udv+c$  

Ejemplos: 

• Calcular: $\int xsen(x)dx$ 

  Si hacemos: $u=sen(x); dv=sen(x)dx$  se sigue que: $du=dx; v=-cos(x)$, aplicando la formula de integracion por partes se tiene: 

$\int xsen(x)dx=-xcos(x)-\int (-cos(x))dx$ 

$=-xcos(x)+\int (cos(x))dx$ 

$=-xcos(x)+sen(x)+c$

• Calcular: $\int sen^2(x)dx$ 

  Podemos reescribir la ecuacion como: $\int sen^2(x)dx=\int sen(x)sen(x)dx$ 

$du=cos(x)dx; v=-cos(x)$, luego: 

$\int sen(x)sen(x)dx=-sen(x)cos(x)-\int (-cos(x))cos(x)dx$  

$=-sen(x)cos(x)+\int cos^2(x)dx$  

$=-sen(x)cos(x)+\int (1-sen^2(x))dx$  

$=-sen(x)cos(x)+\int dx-\int sen^2(x)dx$  

   es decir: $=-sen(x)cos(x)+\int dx-\int sen^2(x)dx$  de donde: 

$2\int sen^2(x)=-sen(x)cos(x)+\int dx$  y por tanto: 

 

$\int sen^2(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}sen(x)cos(x)+c$  

 

INTEGRACION POR SUSTITUCIÓN

     Este método permite calcular integrales de la forma: 

$\int f(g(x)){g}'(x)dx$  

     Para ello, supongamos que P es una primitiva de f; es decir: ${P}'(x)=f(x)$, luego: 

$\int f(x)dx=P(x)+c$  

     La misma que a su vex nos conduce a una expresion mas general, ya que P o g es una primitiva de: $(f o g){g}'$, en efecto: 

${(P o g)}'(x)={P}'(g(x)){g}'(x)$  

 $=f(g(x)){g}'(x)$ 

     Por lo tanto: 

$\int f(g(x)){g}'(x)dx=P(g(x))+c$  

     Ahora para hacer mas sencilla la práctica los mas comun es hacer lo siguiente, tomamos $u=g(x)$ y entonces: $du={g}'(x)dx$, en cuyo caso: $\int f(g(x)){g}'(x)dx$ toma la forma: $\int f(u)du$, es decir la integral se ha transformado en su forma mas simple y se la puede apreciar mejor. 

Ejemplos: 

•   Calcular:  $\int \frac{1}{xln(x)}dx$ 

    Si procedemos como se menciono anteriormente y ademas notamos lo siguiente: 

si hacemos: $u=ln(x)$ entonces: $du=\frac{1}{x}dx$ 

   Y si observamos la integral que planteamos contamos con las herramientas suficientes para realizar el procedimiento de integracion por sustitución de la siguiente manera: 

$\int \frac{1}{xln(x)}dx=\int \frac{1}{u}du$  

   Funcion de la cual conocemos su primitiva la cual es: $ln(u)$, de esta manera obtenemos: 

$\int \frac{1}{u}du=ln(u)$ 

   bien ahora se observa que se nos presento una integral cuya funcion  esta en funcion de x, y en el resultado obtenido lo obtuvimos en funcion de u. Para obtener el resultado en función de x basta con realizar la sustitución de $u=g(x)$ , misma que utilizamos al principio. obteniendo de esta manera el siguiente resultado: 

$\int \frac{1}{u}du=ln(u)=ln(ln(x))$  

• Calcular: $\int cot(x)dx$ 

      Reescribimos la integral de la siguiente manera: $\int cot(x)dx=\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx$ 

      Ahora hacemos la siguiente sustitucion: $u=sen(x); du=cos(x)dx, y obtenemos: 

$\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx=\int \frac{1}{u}du$  

    y como: $\int \frac{1}{x}dx=ln(x)$ , se tiene: 

$\int \frac{1}{u}du=ln(u)+c$ 

    Realizando la respectiva sustitucion tenemos: 

$\int cot(x)dx=ln(sen(x))+c$ 

   Bien ahora se plantea el problema de resolver una integral definida, lo cual gracias al segundo teorema fundamental del calculo resultaria algo bastante sencillo si se puede resolver la integral indefinida como en el siguiente ejemplo: 

• Calcular: $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sen(x)cos(x)dx$ 

   Para mayor comodidad al momento de resolver nos planteamos simplemente: $\int sen(x)cos(x)dx$ 

 

   Lo cual resulta bastante sencillo pues si hacemos la sustitución: $u=sen(x); du=cos(x)dx$ 

 

   Se obtiene la integral: $\int udu=\frac{u^{2}}{2}+c$ , que se resuelve de manera inmediata. y finalmente se realiza la sutitución: $\int sen(x)cos(x)dx=\frac{sen^2(x)}{2}+c$ 

 

   Ahora procedemos a escribir la integral definida como muestra el segundo teorema fundamental del calculo: $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sen(x)cos(x)dx=(\frac{sen^2(x)}{2})_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ 

 

   Cuando realizamos esto se omite la constante c, puesto que se eliminaria posteriormente al momento de realizar las operaciones respectivas. como resultado tenemos: 

 

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sen(x)cos(x)dx=\frac{1}{2}(sen^2(\frac{\pi }{2})-sen^2(0))=\frac{1}{2}$ 

METODOS DE INTEGRACION

    Se estudiaran los metodos o procedimientos que permiten calcular antiderivadas o primitivas, las cuales a simple vista o de manera directa resulta muy complicado encontrarlas.los metodos de integracion que se presentaran seran: 

• Metodo de Integracion por sustitución.

• Metodo de integración por partes

• Integracion de funciones racionales

• Integrales trigonométricas

• Primitivas de un producto de senos y cosenos de funciones lineales de x

• Integrales de un polinomio en sen x y cos x

• Integración de funciones hiperbólicas

• Sustituciones Trigonométricas

• Integrales de la forma: $\int R(x,\sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$ donde R designa una funcion racional. 

• Integracion de funciones racionales de seno y coseno

   Con estos metodos se podra encontrar la mayor parte de primitivas de una funcion, cabe resaltar que existen funciones que no poseen primitivas, por lo cual si se desea calcular el area bajo la curva de dichas funciones se recurre a la aprximacion de estas integrales por metodos que se veran mas adelante o al calculo numerico metodos de integracion numerica que de igual manera brindan una aproximacion de la integral definida en dicho caso. 

INTEGRAL DEFINIDA Y TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO.

    Como se mencionó la integral nos ayuda a resolver el problema de encontrar el area bajo la curva: $y=f(x)$ siendo esta area: 

$\int_{a}^{b}f(x)dx$  

   Donde a,b son los limites de la integral y los limites en el eje x, es decir el intervalo en el cual se calcula el area bajo la curva como se muestra a continuacion: 

   Es decir la integral: \int_{a}^{b}f(x)dx nos permite encontrar el area subrayada en la imagen, siendo este un valo real. 

   PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.- 

     Sea f integrable en $]a,x[ \forall a\leqslant x\leqslant b$ y sea:  $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$  entonces: si f es continua en xse tiene que: ${F}'(x)=f(x)$.

Ejemplos: 

•      Sea: $F(x)=\int_{0}^{x}t^2dt.$  hallar: ${F}'(x)$ 

   En este ejemplo tenemos que: $f(t)=t^2,$  la cual es una funcion continua, luego: $f(x)=x^2$ y por el primer teorema fundamental del calculo: ${F}'(x)=x^2$ .

• Sea: $F(x)=\int_{0}^{x^5}\frac{1}{1+sen^2(t)}dt$ , hallar: ${F}'(x)$ 

   En primer lugar, F es una funcion compuesta, ya que si: $g(x)=x^5; h(x)=\int \frac{1}{1+sen^2(t)}dt$ , se tiene que: $F(x)=h(g(x))$ , por la regla de la cadena tenemos: 

${F}'(x)={h}'(g(x)){g}'(x)$ . Como $h(x)=\frac{1}{1+sen^2(x)}$  se sigue que: ${h}'(g(x))={h}'(x^5)=\frac{1}{1+sen^2(x^5)}$  y como: ${g}'(x)=5x^4$  se tiene finalmente que: 

${F}'(x)=\frac{5x^4}{1+sen^2(x^5)}$

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO. 

  Def: Sea f continua en: $]a,b[$  y sea P una primitiva cualquiera de f en $]a,b[$ , entonces para cada $x_{0}\varepsilon ]a,b[$ se tiene: 

$P(x)-P(x_{0})=\int_{x_{0}}^{x}f(t)dt$ 

   Ahora hacemos: $x_{0}=a; x=b$  y se tiene: 

$\int_{a}^{b}f(t)dt=P(b)-P(a)$ 

     Ejemplos: 

• Evaluar $\int_{0}^{\pi }sen(t)dt$

En primer lugar vamos a encontrar una primitiva F que satisfaga: $\int sen(t)dt$ , y como se vio anteriormente tomamos: $F=-cos(t)$ . por el segundo teorema fundamental del calculo: 

$\int_{0}^{\pi }sen(t)dt=F(\pi )-F(0)$ 

$=-cos(\pi )-(-cos(0))=cos(0)-cos(\pi )=1-(-1)=2$ 

• Evaluar: \int_{1}^{10}\frac{1}{x}dx

Como en el ejemplo anterior buscamos: F que satisfaga $\int \frac{1}{x}dx$ , y tal funcion podemos considerar: $F=ln(x)$ , y por el segundo teorema fundamental del calculo: 

$\int_{1}^{10}\frac{1}{x}dx=F(10)-F(1)$ 

$=ln(10)-ln(1)=ln(10)$

 

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

   La integral indefinida enuncia las siguientes propiedades:

•  $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$ 

• $\int \alpha f(x)dx=\alpha \int f(x)dx, \alpha =cte$ 

   Ejemplo:  

   Calcular:

•  $\int (\sqrt{x}+e^x)dx$ 

$\int (\sqrt{x}+e^x)dx=\int \sqrt{x}dx+\int e^xdx$  

 

$=\int x^{\frac{1}{2}}dx+\int e^xdx$  

 

$=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+e^x+c$  

 

   Ya que se ha definido la integral indefinida como la operacion inversa de la diferenciacion se sigue que: $\int df=f+c$ , en donde df representa la diferencial de la funcion f y c es una constante. 

 

   Resultado que permite establecer a su vez lo siguiente: 

 

• $\int [{f}'(x)+{g}'(x)]dx=f(x)+g(x)+c$ 

• $\int [{f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)]dx=f(x)g(x)dx$  

• $\int [\frac{{f}'(x)g(x)-f(x){g}'(x)}{g^2(x)}]dx=\frac{f(x)}{g(x)}+c$ 

• $\int {f}'(g(x)){g}'(x)dx=f(g(x))+c$  

   Gracias a estos antecedentes y recordando las formulas de las derivadas compuestas podemos establecer la siguiente tabla de integrales indefinidas: 

•  $\int u^\alpha du=\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}; \alpha \varepsilon \mathbb{R}; \alpha \neq -1$ 

• $\int \frac{du}{u}=ln(u)+c$ 

• $\int cos(u)du=sen(u)+c$  

• $\int sen(u)du=-cos(u)+c$ 

• $\int sec^2(u)du=tan(u)+c$  

• $\int csc^2(u)du=cot(u)+c$ 

• $\int sec(u)tan(u)du=sec(u)$  

• $\int csc(u)cot(u)du=-csc(u)$ 

• $\int e^udu=e^u+c$  

• $\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=arcsen(u)+c=-arccos(u)+k$ 

•  $\int \frac{1}{1+u^2}du=arctan(u)+c=-arcot(u)+k$ 

• $\int a^uln(a)du=a^u+c$ 

• $\int cosh(u)du=senh(u)+c$  

• $\int senh(u)du=cosh(u)+c$ 

• $\int sech^2(u)du=tanh(u)+c$  

• $\int csch^2(u)du=-coth(u)+c$ 

• $\int sech(u)tanh(u)du=-sech(u)+c$  

• $\int csch(u)coth(u)du=-csch(u)+c$ 

 

   Ejemplos: 

 

•       Evaluar: $\int (\frac{sen(x)-xcos(x))}{sen^2(x)})dx$ 

 

   Si observamos en las integrales mostradas anteriormente no existe una similar a esta expresion, pero bien si recordamos un problema de calculo diferencial con la funcion: $f(x)=\frac{x}{senx}$ , entonces observamos: 

 

${f}'(x)=\frac{sen(x)-xcos(x)}{sen^2(x)}$  

   De manera inmediata se concluye: 

$\int (\frac{sen(x)-xcos(x)}{sen^2(x)})dx=\frac{x}{sen(x)}$ 

• Evaluar: $\int (e^x+xe^x)dx$ 

      De manera similar si recordamos la expresion:$f(x)=xe^x$  y observamos: 

  

${f}'(x)=e^x+xe^x$  

   De manera inmediata se concluye: 

$\int (e^x+xe^x)dx=xe^x+c$ 

 

INTEGRAL INDEFINIDA

   El proposito del calculo integral es dar solucion a dar solución a los siguientes problemas: 

1. dada una funcion: f encontrar una funcion F tal que: ${F}'=f$ 

      2. Dada una función positiva f, dar una definición del area bajo la curva: $y=f(x)$  

   Funciones primitivas o antiderivadas: 

     Definición: La función F se dice una primitiva o antiderivada de f en: $]a,b[$  si: ${F}'(x)=f(x)\forall x\epsilon ]a,b[$. 

Ejemplos:

•    Sea: $f(x)=x$  una primitiva o antiderivada de f es: $F(x)=\frac{x^2}{2}$  puesto que: ${F}'(x)=x=f(x)$ 

• Sea: $g(x)=sen(x)$  una primitiva de g es: $G(x)=-cos(x)$  en efecto: ${G}'(x)=-(-sen(x))=sen(x)$ 

•  Si: $f(X)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}; \left | x \right |< 1$  entonces: $F(X)=arcsen(x)$   es una primitiva de la funcion f. ya que ${F}'(x)=f(x)$.

  Si f y g tienen como primitivas F y G respectivamente en: $]a,b[$  entonces: 

• F + G es una primitiva de f + g

$\alpha F$  es una primitiva de $\alpha f$ , $\alpha$ = constante. 

Definicion. - Se denomina integral indefinida de f y se nota: $\int f(x)dx$  a la primitiva generica de f; esto es, la primitiva mas general de f. $\int f(x)dx=F(x)+c$ donde: F tal que: $\int f(x)=F(x)+c$ 

 
 

CALCULO DE LIMITES INDETERMINADOS

     Otra aplicación del cálculo diferencial es el cálculo de límites indeterminados por ejemplo si deseamos calcular: 

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+ax)}{x}$ 

    Al reemplazar x con cero obtenemos una expresion del tipo: 0/0, que como se habia visto se denomina una forma indeterminada. con las tecnicas para resolver limites vistas anteriormente nos resulta posible el calculo de este limite. 
  
    Regla 1 de L´ Hospital
        
   Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo abierto I que contiene el punto a; excepto posiblemente, no derivables en a y sea ${g}'(x)\neq 0$  para todo $x\neq a$ de I. si: 

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ 

y: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}=L$  entonces: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$

Regla 2 de L´Hospital 
   
   Si f y g son dos funciones derivables en un intervalo abierto I, excepto en un punto a de dicho intervalo, y si ${g}'(x)\neq 0$ para todo $x\neq a$ de I y si: 

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty$  

 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}=L$  entonces: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{{f}(x)}{{g}(x)}=L$ 

Forma indeterminada $0*\infty$ 

   Si: $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$  y $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty$  entonces: $\lim_{x\rightarrow a}f(x)*g(x)=0*\infty$ en este caso escribiremos el limite: 

 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$  y como: $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty$  

entonces: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{g(x)}=0$ 

 entonces: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$  toma la forma indeterminada 0/0

   Tambien podemos escribir ellimite: $\lim_{x\rightarrow a}f(x)*g(x)$  como: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}$ , el cual toma la forma indeterminada $\frac{\infty }{\infty }$ , las cuales se resuelven por cualquiera de los dos primeros casos. 

Ejemplo: 

    Calcular: $\lim_{x\rightarrow a}(x^2lnx^2)$ 

este limite adopta la forma: $0*\infty$ ; luego podemos escribirlo como: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{ln(x^2)}{\frac{1}{x^2}}$  

   Donde: ${(ln(x^2))}'= \frac{2}{x}$  ; ${(\frac{1}{x^2})}'=-\frac{2}{x^3}$ , entonces: 

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{ln(x^2)}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow a}-x^2=0$

 Formas indeterminadas ($0^0, 1^\infty , \infty ^0$ )

   Para la solucion de estos casos utilizaremos el mismo procedimiento, que consiste en los siguientes pasos: 

   1. llamar y al limite que se desea calcular, es decir: 

$y=\lim_{x\rightarrow a}[f(x)]^{g(x)}$ 

   2. Tomar logaritmos a ambos miembros: 

$ln(y)=ln(\lim_{x\rightarrow a}[f(x)]^{g(x)})$  

   3. Utilizar la propiedad de los logaritmos que dice que el logaritmo de un limite es el limite del logaritmo, es decir: 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow a}(ln([f(x)]^{g(x)}))$ 

   4. Aplicar la propiedad de una potencia: 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow a}(g(x)*ln(f(x)))$ 

       En este momento el limite se presenta en la forma indeterminada $0*\infty$ , puesto que si: 

• $\lim_{x\rightarrow a}f(x)^{g(x)}= 0^0$  entonces: $f(x)\rightarrow 0 ; g(x)\rightarrow 0$  luego: $\lim_{x\rightarrow a}[g(x)ln(f(x))]= 0*\infty$ 

•  $\lim_{x\rightarrow a}f(x)^{g(x)}=1^\infty$ entonces: $f(x)\rightarrow 1; g(x)\rightarrow \infty$ luego: $\lim_{x\rightarrow a}[g(x)ln(f(x))]=\infty *0$ 

• $\lim_{x\rightarrow a} f(x)^{g(x)}=\infty ^0$   entonces: $f(x)\rightarrow \infty ; g(x)\rightarrow 0$  luego: $\lim_{x\rightarrow a}[g(x)ln(f(x))]=0*\infty$ 

   5. transformar la expresion: $g(x)ln(f(x))$  en otra de la forma indeterminada: $\frac{0}{0}; \frac{\infty }{\infty }$ cuando: $x\rightarrow a$  escribiendo: 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{ln(g(x))}{\frac{1}{f(x)}}$ 

   6. Aplicar la regla de L´Hospital en la expresion anterior. sea c el limite obtenido;  si este existe. 

   7. como ya se ha obtenido que: $ln(y)=c$  el limite y buscado sera: $e^c$

       Ejemplo: 

 

    Calcular:  $\lim_{x\rightarrow 1}(1-x)^{cos(\frac{\pi }{2}x)}$ 

 

      Solucion: 

 

    como el limite ptopuesto toma la forma indeterminada $0^0$ apliacndo lo visto anteriormente: 

 

$y=\lim_{x\rightarrow 1}(1-x)^{cos\frac{\pi }{2}x}= ln(y)=ln(\lim_{x\rightarrow 1}(1-x)^{cos\frac{\pi }{2}x})$  

 

$\Rightarrow ln(y)=\lim_{x\rightarrow 1}(ln((1-x)^{cos\frac{\pi }{2}x}))$  

$\Rightarrow ln(y)=\lim_{x\rightarrow 1}(cos\frac{\pi }{2}xln(1-x))$ 

   Como: $\lim_{x\rightarrow 1}(cos\frac{\pi }{2}xln(1-x))$ toma la forma indeterminada: $0*\infty$ , podemos escribir. 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{ln(1-x)}{\frac{1}{cos\frac{\pi}{2}x}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{ln(1-x)}{sec\frac{\pi}{2}x}$ 

   Que a su vex es de la forma: $\frac{\infty }{\infty }$ , luego: 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{-1}{1-x}}{-\frac{\pi }{2}sec(\frac{\pi }{2}x)tan(\frac{\pi }{2}x)}$ 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-2cos^2(\frac{\pi }{2}x)}{\pi (1-x)sen(\frac{\pi }{2}x)}$ 

   Como este limite toma la forma: $\frac{0}{0}$  debemos aplicar nuevamente la regla de L´Hospital asi: 

$ln(y)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2\pi cos(\frac{\pi }{2}x)sen\frac{\pi }{2}x}{\frac{\pi ^2}{2}(1-x)cos(\frac{\pi }{2}x)-\pi sen(\frac{\pi }{2}x)}=\frac{0}{-\pi }=0$ 

De $ln(y)=0$ se sigue que: $y=e^0=1$ y finalmente: $\lim_{x\rightarrow 1}(1-x)^{cos(\frac{\pi }{2}x)}=1$