FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS

•      Sea $\displaystyle f:A\rightarrow B$ una función, se dice que f es inyectiva si, 

$\displaystyle \forall x_{1}, x_{2}\varepsilon A$, $\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$ 

     Es decir que f es inyectiva si, a elementos diferentes de A corresponden elementos diferentes de B. 

     O en su forma equivalente, f es inyectiva si y solo si: $\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.

• Sea $\displaystyle f:A\rightarrow B$  una función, se dice que f es sobreyectiva o suryectiva si: 

$\displaystyle \forall y\varepsilon B$  existe $\displaystyle x\varepsilon A$  tal que: $\displaystyle y=f(x)$.

     Es decir que f es sobreyectiva si no existen en B elementos que no sean imagenes de ningún elemento de A. 

• Sea $\displaystyle f:A\rightarrow B$ una función, f se dice biyectiva si a la vez es inyectiva y sobreyectiva. Es decir cuando todo elemento $\displaystyle y_{0}$ del conjunto de llegada B tiene exactamente un único antecedente $\displaystyle x_{0}\varepsilon A$ .

Ejemplo: 

Consideremos la relación $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ tal que: $\displaystyle x\rightarrow f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$ 

     a) es f una función de $\displaystyle \mathbb{R}$  en $\displaystyle \mathbb{R}^{+}$ 

     b) es f inyectiva

     c) es f sobreyectiva

     d) es f biyectiva 

a) La función f esta definida para todo valor $\displaystyle x\varepsilon \mathbb{R}$ habria problemas si: $\displaystyle x^{2}+ñ1=0$, pero ello no es posible pues $\displaystyle \forall x\varepsilon \mathbb{R}, x^{2}\geq 0; x^{2}+1\geq 0$.

b) Para que sea inyectiva debe cumplirse que: $\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$, en este caso tenemos: 

$\displaystyle \frac{1}{x_{1}^{2}+1}=\frac{1}{x_{2}^{2}+1}\Rightarrow x_{2}^{2}+1=x_{1}^{2}+1\Rightarrow x_{1}^{2}=x_{2}^{2}\Rightarrow \left | x_{1} \right |=\left | x_{2} \right |\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$ 

     Consecuentemente la función no es inyectiva y consecuentemente no podrá ser biyectiva. 

c) Sea $\displaystyle y_{0}\varepsilon \mathbb{R}^{+}$ y supongamos que para algun $\displaystyle x_{0}\varepsilon \mathbb{R}$ tal que $\displaystyle y_{0}=f(x_{0})$  se sigue entonces que $\displaystyle y_{0}=f(x_{0})\Leftrightarrow y_{0}=\frac{1}{x_{0}^{2}+1}$ , de donde $\displaystyle x_{0}^{2}+1=\frac{1}{y_{0}}$  y por lo tanto: $\displaystyle x_{0}^{2}=\frac{1}{y_{0}}-1$. Para que tal $\displaystyle x_{0}$  exista debe cumplirse que $\displaystyle \frac{1}{y_{0}}-1\geq 0$ es decir que $\displaystyle \frac{1}{y_{0}}\geq 1$, o lo que es lo mismo $\displaystyle 0\leq y_{0}\leq 1$ , es decir que toma valores únicamente en el intervalo $\displaystyle ]0,1 ]$, y en consecuencia no es sobreyectiva pues el conjunto de llegada es $\displaystyle \mathbb{R}^{+}$, para que la función fuese sobreyectiva debemos sobreescribir la función de tal manera que: 

$\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow$ ]0,1]

$\displaystyle x\rightarrow f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$ 

FUNCIONES O APLICACIONES

     Sean A y B dos conjuntos. A cada elemento de A le corresponde asociar un único elemento de B, tal asociación se le llama aplicación o función de A en B

     Entonces: se define una función o aplicación f de un conjunto A en un conjunto B, como un subconjunto de A x B tal que a cada elemento de A se hace corresponder un único elemento de b que llamaremos imagen del elemento x por la ley f y denotaremos por: $\displaystyle y=f(x)$ 

 

     

      Es decir que f es una función de A en B si: 

• $\displaystyle f\subset AxB$ 
• $\displaystyle (x,y)\varepsilon f$  y $\displaystyle (x, {y}')\varepsilon f\Rightarrow y={y}'$ 

La parte 2 de la definición de función nos dice que si f es función, en f no puede existir dos pares ordenados con primeras componentes iguales o lo que es lo mismo a un elemento de A no le pueden corresponder dos o mas elementos del conjunto B.  

     Notación: 

$\displaystyle f:A\rightarrow B$ 

                  $\displaystyle x\rightarrow y=f(x)$ 

    El conjunto A se denomina el dominio de la función f y se nota por dom(f). El conjunto de B se denomina el conjunto de llegada de f.

AXIOMAS DE ORDEN

     El siguiente grupo de axiomas se refiere a un concepto por el que establecemos una ordenación entre números reales, con los que se pueden establecer cuando un número real es mayor que otro o no. 

    Para esto suponemos que existe un cierto subconjunto $\displaystyle \mathbb{R}^{+}$  de $\displaystyle \mathbb{R}$, llamado conjunto de los números positivos que satisfacen los axiomas siguientes: 

• $\displaystyle x\varepsilon \mathbb{R}^{+}$ 

• $\displaystyle -x\varepsilon \mathbb{R}^{+}$ 

• $\displaystyle x=0$ 

    Si a y b son números reales diremos que "a es menor que b" y notaremos a<b, si $\displaystyle b-a \varepsilon \mathbb{R}^{+}$, si a<b se dice también que b es mayor que a y se escribe b>a.

     Podemos escribir los siguientes axiomas: 

               O1. Si x > 0 e y > 0 entonces $\displaystyle x+y >0$  y $\displaystyle x*y >0$ 

               O2. Para todo numero real x se satisface una y solo una de las tres condiciones siguientes: 

• x > 0
• x < 0
• x = 0

    Al conjunto de números reales x tales que x < 0 se denomina el conjunto de números reales negativos y se nota por $\displaystyle \mathbb{R}^{-}$.

Teorema. - Sean a, b y c números reales:

• Si a < b y b < c entonces a < c. 
• Si a < b entonces a + c < b + c.
• Si a < b y c > 0 entonces $\displaystyle a*c>0$ 
• Si a < b y c < 0 entonces: $\displaystyle a*c<b*c$
• Si a < 0 y b < 0 entonces $\displaystyle a*b > 0$ 
• Si a < 0 y b > 0 entonces $\displaystyle a*b < 0$ 
• Si a es diferente de 0 entonces $\displaystyle a^{2}>0$ 
• 1 > 0
• Si a > 0 entonces $\displaystyle a^{-1}>0$ 
• Si a < a < b entonces $\displaystyle 0<b^{-1}<a^{-1}$ 

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NÚMEROS REALES

      Teorema. - el elemento 0 es unio. dicho elemento se denomina el modulo o el elemento neutro para la suma. 

     Teorema. - El elemento -x es único, dicho elemento se denomina el opuesto aditivo de x.

     Teorema. - Sean a, b, c números reales. Si $\displaystyle a+c=b+c$  entonces $\displaystyle a=b$. 

     Corolario. - Para todo real x, $\displaystyle -(-x)=x$ 

     Teorema. - El elemento 1 es único. Dicho elemento se denomina modulo para el producto o el elemento unidad. 

     Teorema. - Si $\displaystyle x\neq 0$  el elemento $\displaystyle x^{-1}$ es único, dicho elemento se denomina el opuesto multiplicativo de x o el inverso de x. 

      Teorema. - si a es un numero real cualquiera entonces: $\displaystyle 0*a=0$ 

      Teorema. - Sean a, b, c números reales con $\displaystyle c\neq 0$. si: $\displaystyle ac=bc$  entonces:  a =b. 

     Teorema. - sean a, b, c y d números reales cualesquiera, se tiene que: 

$\displaystyle (-a)b=-(ab)$ 

$\displaystyle (-a)(-b)=ab$ 

Si $\displaystyle ab=0$  entonces: $\displaystyle a=0$  o $\displaystyle b=0$ 

$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$  con: $\displaystyle b\neq 0; d\neq 0$ 

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

     En el sistema de los números reales se cumplen las siguientes propiedades:

• $\displaystyle x+y=y+x$     ley conmutativa

• $\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)$             ley asociativa

• Existe un numero real que lo notaremos con el símbolo 0 tal que: para todo $\displaystyle x\varepsilon \mathbb{R}$ se tiene que: 

$\displaystyle x+0=0+x=x$    Ley Modulativa

• Para todo numero real x existe un numero real que lo notaremos con -x tal que: 

$\displaystyle x+(-x)=(-x)+x=0$    ley del opuesto

• $\displaystyle x*y=y*x$    ley conmutativa

• $\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$    ley asociativa

• Existe un numero real que lo notaremos por 1, tal que para todo $\displaystyle x\varepsilon \mathbb{R}$ se tiene que: 

$\displaystyle x*1=1*x=x$    ley modulativa

• Para todo numero real $\displaystyle x\neq 0$ existe un numero real que lo notaremos por $\displaystyle x^{-1}$  tal que: 

$\displaystyle x*x^{-1}=x^{-1}*x=1$    ley del inverso

• Cualquiera que sean los números reales x, y, z se tiene: 

$\displaystyle x*\left ( y+z \right )=x*y+x*z$ 

     Estos 9 axiomas dotan al conjunto de números reales con la operación suma y producto de una estructura algebraica que se llama cuerpo. 

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

     El sistema de los números reales es presentado gracias a la necesidad de un sistema mas extenso de un sistema de numeración pues, históricamente los sistemas de numeración ha aparecido de la siguiente manera:

• El sistema de los números naturales definidos como: $\displaystyle \mathbb{N}=\left \{ 0,1,2... \right \}$. que conlleva todos los números positivos incluido el 0. 

• Con el tiempo se presenta un problema como por ejemplo: x + 3 = 2, si se desea resolver dicha ecuación se observa que en los números reales no tiene solución, Por lo que  hay la necesidad de crear un nuevo sistema de numeración definido como los números enteros: $\displaystyle \mathbb{Z}=\left \{ ...,-2,-1,0,1,2,... \right \}$. Que abarca los números tanto positivos como negativos.

• Ahora si bien es cierto el sistema de los números enteros solucionaba muchos mas problemas que el sistema de los números naturales, aparece otro problema en la siguiente ecuación: 2x= 1 donde resulta imposible hallar solución en los números enteros, por lo que se definen los números racionales: $\displaystyle \mathbb{Q}=\left \{ \frac{a}{b}: a\varepsilon \mathbb{Z} y b\varepsilon \mathbb{Z}\right \}$  con b distinto de 0. 

• Aun así este sistema se encontraba incompleto, así por ejemplo: $\displaystyle r^{2}=2$ no se satisface por ningún numero racional, definiendo el sistema de los números irracionales, 

     La unión de los sistemas de numeración de números racionales e irracionales resulta en un nuevo sistema conocido como sistema de números reales, es decir en este sistema abarca los números enteros, naturales, racionales, e irracionales, permitiendo encontrar solución para casi toda ecuación o problema propuesto. 

INTEGRALES DE LA FORMA $\displaystyle \int R\left ( x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right )$

    Para resolver integrales de esta forma se utiliza la sustitución $\displaystyle y=\sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+d}}$, de donde se sigue que: $\displaystyle x=\frac{b-dy^{m}}{cy^{m}-a}$  y $\displaystyle dx=\frac{ad-bc}{(cy^{m}-a)^{2}}my^{m-1}dy$.

Ejemplo: 

     Calcular: $\displaystyle \int \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}\frac{dx}{x}$ 

En este caso tomando: $\displaystyle y=\sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$, se sigue que: $\displaystyle x=\frac{2(y^{2}-1)}{y^{2}+1}$  y $\displaystyle dx=8\frac{y}{(y^{2}+1)^{2}}dy$ y en consecuencia: 

$\displaystyle \int \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}\frac{dx}{x}=\int y.\frac{8\frac{y}{(y^{2}+1)^{2}}dy}{\frac{2(y^{2}-1)}{y^{2}+1}}=4\int \frac{y^{2}}{(y^{2}+1)(y^{2}-1)}dy$ 

$\displaystyle =4\int \frac{y^{2}+1-1}{(y^{2}+1)(y^{2}-1)}dy=4\int \frac{1}{y^{2}-1}dy-4\int \frac{1}{(y^{2}+1)(y^{2}-1)}dy$ 

$\displaystyle =4\int\frac{1}{(y-1)(y+1)} dy-\int \frac{1}{(y-1)(y+1)(y^{2}+1)}dy$ 

$\displaystyle 2\int \frac{1}{y-1}dy-2\int \frac{dy}{y+1}-4\left [ \int \frac{\frac{1}{4}}{y-1}dy-\int \frac{\frac{1}{4}}{y+1}dy-\frac{1}{2}\int \frac{dy}{y^{2}+1} \right ]$ 

$\displaystyle 2ln\left | y-1 \right |-2ln\left | y+1 \right |-ln\left | y-1 \right |+ln\left | y+1 \right |+2arctan(y)+c$ 

$\displaystyle =ln\left | y-1 \right |-ln\left | y+1 \right |+2arctan(y)+c$ 

$\displaystyle =ln\left | \frac{y-1}{y+1} \right |+2arctan(y)+c$ 

$\displaystyle =ln\left | \frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}} \right | arctan\left ( \sqrt{\frac{2+x}{2-x}} \right )+ñc$