$$Teorema.-\quad Sea\quad f\quad continua\quad y\quad estrictamente\quad monótona\quad en\quad [a,b].\quad Sea\quad g\\ la\quad función\quad inversa\quad de\quad f.\quad Si\quad { f }^{ ´ }(x)\quad existe\quad para\quad todo\quad x\quad \epsilon \quad (a,b)entonces:$$
$${ g }^{ ´ }(y)=\frac { 1 }{ { f }^{ ´ }(x) } =\frac { 1 }{ { f }^{ ´ }({ f }^{ -1 }(y)) } ;\quad { f }^{ ´ }(x)\neq 0;\quad y\quad y=f(x)\quad y\quad x={ f }^{ -1 }(y)$$
Ejemplo.-
$$sea\quad f(x)=3x+2,\quad calcular\quad la\quad derivada\quad de\quad su\quad función\quad inversa\quad \\ Sea\quad g\quad su\quad funcion\quad inversa,\quad entonces\quad por\quad el\quad teorema\quad anterior\quad tenemos:\\ { g }^{ ´ }(y)=\frac { 1 }{ { f }^{ ´ }(x) } =\frac { 1 }{ 3 }$$
$$Derivada\quad de\quad las\quad Funciones\quad Trigonométricas\quad Inversas.-\\ \qquad i)\quad Derivada\quad del\quad Arco\quad Seno,\quad f(x)=arcsenx\\ \qquad { (arcsenx) }^{ ´ }=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } ;\quad \left| x \right| <1\\ \qquad ii)\quad Derivada\quad del\quad Arco\quad cosen,\quad f(x)=arccosx\\ \qquad { (arccosx) }^{ ´ }=\frac { -1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } ;\quad \left| x \right| <1\\ \qquad iii)\quad Derivada\quad del\quad Arco\quad Tangente,\quad f(x)=arctanx\\ \qquad { (arctanx) }^{ ´ }=\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } ,\quad \forall x\quad \epsilon \quad R\\ \qquad iv)\quad Derivada\quad del\quad Arco\quad Cotangente,\quad f(x)=arccotx\\ \qquad { (arccotx) }^{ ´ }(x)=\frac { -1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } ,\quad \forall x\quad \epsilon \quad R\\ \qquad v)\quad Derivada\quad del\quad Arco\quad Secante,\quad f(x)=arcsecx\\ \qquad { (arcsecx) }^{ ´ }(x)=\frac { 1 }{ \left| x \right| \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } ;\quad \left| x \right| >1\\ \qquad vi)\quad Derivada\quad del\quad Arco\quad Cosecante,\quad f(x)=arccscx\\ \qquad { (arccscx) }^{ ´ }(x)=\frac { -1 }{ \left| x \right| \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } ;\quad \left| x \right| >1$$
$$En\quad base\quad a\quad lo\quad anterior\quad y\quad a\quad la\quad regla\quad de\quad la\quad cadena\quad se\quad establece\quad que:\quad \\ y=arcsen[f(x)]=\frac { dy }{ dx } =\frac { { f }^{ ´ }(x) }{ \sqrt { 1-{ [f(x)] }^{ 2 } } } ;\quad \left| f(x) \right| <1\\ y=arccos[f(x)]=\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ f }^{ ´ }(x) }{ \sqrt { 1-{ [f(x)] }^{ 2 } } } ;\quad \left| f(x) \right| <1\quad \quad \quad \\ y=arctan[f(x)]=\frac { dy }{ dx } =\frac { { f }^{ ´ }(x) }{ 1+[{ f(x) }]^{ 2 } } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ y=arccot[f(x)]=\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ f }^{ ´ }(x) }{ 1+[{ f(x) }]^{ 2 } } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ y=arcsec[f(x)]=\frac { dy }{ dx } =\frac { { f }^{ ´ }(x) }{ \left| f(x) \right| \sqrt { { [f(x)] }^{ 2 }-1 } } ;\quad \left| f(x) \right| >1\\ y=arccsc[f(x)]=\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ f }^{ ´ }(x) }{ \left| f(x) \right| \sqrt { { [f(x)] }^{ 2 }-1 } } ;\quad \left| f(x) \right| >1$$
$$Derivada\quad de\quad la\quad Función\quad Exponencial.-\quad Aplicaremos\quad el\quad teorema\quad de\quad \\ la\quad derivada\quad de\quad la\quad función\quad inversa\quad para\quad calculaar\quad la\quad derivada\quad de\quad \\ la\quad función\quad exponencial,\quad pues\quad es\quad la\quad inversa\quad de\quad la\quad función\quad logaritmo.\\ De\quad y=f(x)={ log }_{ a }x\quad se\quad sigue\quad que:\quad x={ a }^{ y }=g(y)\quad y\quad por\quad tanto:\quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad { g }^{ ´ }(y)=\frac { 1 }{ { f }^{ ´ }(x) } =\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ x } { log }_{ a }e } =\frac { x }{ { log }_{ a }e } =xln(a)={ a }^{ y }ln(a)$$
$$Conclusión:\quad g(y)={ a }^{ y }\Rightarrow { g }^{ ´ }(y)={ a }^{ y }ln(a)\\ \qquad \qquad \qquad \quad g(x)={ a }^{ x }\Rightarrow { g }^{ ´ }(x)={ a }^{ x }ln(a)\quad \quad \quad $$
$$Observaciones.-\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad i)\quad Si:\quad a=e,\quad g(x)={ e }^{ x }\quad entonces\quad { g }^{ ´ }(x)={ e }^{ x }ln(e)={ e }^{ x }\quad \quad \\ \qquad ii)\quad Si:\quad a=10,\quad g(x)={ 10 }^{ x }\quad entonces:\quad { g }^{ ´ }(x)={ 10 }^{ x }ln(10)$$
$$Definición.-\quad sea\quad a>0,\quad x\quad \epsilon \quad R,\quad se\quad define:\quad { a }^{ x }={ e }^{ xln(a) }$$
$$Derivadas\quad de\quad las\quad funciones\quad Hiperbólicas.-\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad i)\quad Derivada\quad del\quad Seno\quad Hiperbólico;\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad \qquad f(x)=senh(x)\quad \Rightarrow \quad { f }^{ ´ }(x)=cosh(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad ii)\quad Derivada\quad del\quad coseno\quad hiperbólico;\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad \qquad f(x)=cosh(x)\quad \Rightarrow \quad { f }^{ ´ }(x)=senh(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$iii)\quad Derivada\quad de\quad la\quad Tangente\quad Hiperbólica.-\quad \\ \qquad \qquad f(x)=tanh(x)\quad \Rightarrow \quad { f }^{ ´ }(x)={ sech }^{ 2 }x$$
$$\qquad iv)\quad Derivada\quad de\quad la\quad cotangente\quad Hiperbólica.-\quad \\ \qquad \qquad f(x)=coth(x)\quad \Rightarrow \quad { f }^{ ´ }(x)=-{ csch }^{ 2 }x\quad $$
$$\qquad v)\quad \quad Derivada\quad de\quad la\quad Secante\quad Hiperbolica.-\quad \quad \quad \quad \\ \qquad \qquad f(x)=sech(x)\quad \Rightarrow \quad { f }^{ ´ }(x)=-sech(x)tgth(x)\quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad vi)\quad Derivada\quad de\quad la\quad Cosecante\quad Hiperbólica;\quad \quad \quad \quad \\ \qquad \qquad f(x)=csch(x)\quad \Rightarrow \quad { f }^{ ´ }(x)=-csch(x)coth(x)\quad \quad \quad \quad \quad $$
miércoles, 31 de diciembre de 2014
martes, 30 de diciembre de 2014
Derivada de la Función Compuesta
$$Teorema\quad (Regla\quad de\quad la\quad cadena).-\quad Sea\quad u=fog.\quad Si\quad g\quad es\quad derivable\quad en\quad x\\ y\quad f\quad es\quad derivable\quad en\quad g(x),\quad entonces\quad u\quad es\quad derivable\quad en\quad x\quad y\quad ademas\quad \quad \\ { u }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(g(x))*{ g }^{ ´ }(x).\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$De\quad este\quad teorema\quad podemos\quad encontrar\quad derivadas\quad de\quad funciones\quad tales\quad \quad \\ como:\quad sen(2x),\quad { sen }^{ 2 }(x),\quad { (2x+1) }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Ya\quad que\quad si:\quad f(x)=sen(2x)\quad entonces\quad hacemos:\quad g(x)=2x\quad donde\quad tendremos:\\ sen(2x)=sen(g(x))=f(x);\quad donde\quad por\quad el\quad teorema\quad anterior\quad tenemos\quad que:\quad $$
$${ f }^{ ´ }(x)=cos(g(x)){ g }^{ ´ }(x)=cos(2x)*2=2cos(2x)\quad \quad \quad \quad $$
$$De\quad manera\quad similar\quad f(x)={ sen }^{ 2 }x\quad y\quad si\quad hacemos\quad sen(x)=g(x)\quad tenemos\quad que:$$
$${ f´ }(x)=2g(x)*{ g }^{ ´ }(x)=2sen(x)cos(x)\quad \quad $$
$$sea\quad f(x)={ (2x+1) }^{ 2 };\quad como\quad ya\quad nos\quad hemos\quad familiarizado\quad podemos\quad hacer\\ el\quad procedimiento\quad directamente,\quad es\quad decir\quad sin\quad realizar\quad la\quad sustitución:\quad $$
$$entonces:\quad { f }^{ ´ }(x)=2(x+1)*2=4(x+1)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Notación\quad de\quad Leibniz.-\quad Sea\quad y=f(x),\quad entonces\quad en\quad lugar\quad de\quad { f }^{ ´ }(x)\quad Leibniz\\ utilizaba\quad la\quad notación:\quad \frac { dy }{ dx } (derivada\quad de\quad y\quad con\quad respecto\quad a\quad x)\quad \quad \quad $$
$$Regla\quad de\quad la\quad Cadena\quad en\quad la\quad Notación\quad de\quad Leibniz:\quad la\quad regla\quad de\quad la\quad cadena\\ es\quad un\quad ejemplo\quad para\quad mostrar\quad la\quad utilidad\quad de\quad la\quad notación\quad de\quad Leibniz\quad para\\ la\quad derivada.\quad En\quad efecto,\quad si\quad tenemos\quad u(x)=(fog)(x)=f(g(x)).\quad haciendo\quad \quad \quad \\ z=u(x)\quad e\quad y=g(x)\quad tenemos:\quad z=f(y)\quad y\quad en\quad este\quad caso:$$
$$\frac { dz }{ dx } ={ u }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(g(x)){ g }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(y){ g }^{ ´ }(x)\quad como:\quad \frac { dy }{ dx } ={ g }^{ ´ }(x);\quad \frac { dz }{ dy } ={ f }^{ ´ }(y):$$
$$\frac { dz }{ dx } =\frac { dz }{ dy } *\frac { dy }{ dx } ;\quad regla\quad de\quad la\quad cadena\quad en\quad la\quad notacion\quad de\quad Leibniz.\quad $$
$$i)\quad hallar:\quad \frac { dz }{ dx } \quad si:\quad z=seny,\quad y=cosx\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$sabemos\quad que:\frac { dz }{ dx } =\frac { dz }{ dy } *\frac { dy }{ dx } ;\quad luego:\quad \frac { dz }{ dx } =(cos(y))(-sen(x))=-cosysenx$$
$$sabemos\quad que:\frac { dz }{ dx } =\frac { dz }{ dy } *\frac { dy }{ dx } ;\quad luego:\quad \frac { dz }{ dx } =(cos(y))(-sen(x))=-cosysenx\\ es\quad decir:\quad \frac { dz }{ dz } =-cos(cosx)senx\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Derivacion\quad Implícita.-\quad Hasta\quad ahora\quad hemos\quad trabajado\quad con\quad expresiones\quad de\\ tipo:\quad y=\frac { { x }^{ 2+1 } }{ 2x-1 } ;\quad y={ x }^{ 5 }-{ 4 }x^{ 3 }-7;\quad y={ x }^{ 3 },\quad etc.\quad entodas\quad ellas\quad la\quad variable\quad indep-\\ endiente\quad y\quad esta\quad expresada\quad en\quad términos\quad de\quad la\quad variable\quad independiente\quad x.\quad \\ en\quad casos\quad como\quad estos\quad se\quad dice\quad que\quad y\quad esta\quad dada\quad explicitamente\quad en\quad función\\ de\quad x.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Sin\quad embargo,\quad hay\quad muchos\quad problemas\quad que\quad conducen\quad a\quad ecuaciones\quad que\quad \\ relacionan\quad 2\quad variables,\quad de\quad tal\quad manera\quad que\quad ninguna\quad de\quad ellas\quad aparece\quad \quad \\ despejada,\quad en\quad cualquiera\quad de\quad los\quad casos\quad se\quad dice\quad que\quad cualquiera\quad de\quad las\quad \\ variables\quad es\quad una\quad funcion\quad implicita\quad de\quad la\quad otra.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Asi\quad por\quad ejemplo:\quad x+y=5;\quad { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1;\quad xy=k$$
$$En\quad ocasiones\quad es\quad posible\quad despejar\quad una\quad variable\quad y\quad expesarla\quad como:\quad \quad \\ función\quad explicita\quad de\quad la\quad otra,\quad pero\quad en\quad otros\quad casos\quad resulta\quad imposible\quad \quad \\ despejar\quad una\quad e\quad las\quad variables\quad en\quad función\quad de\quad la\quad otra\quad como\quad ocurre\quad \quad \\ con:\quad { x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }+x{ y }^{ 3 }=1,\quad o\quad en\quad su\quad defecto\quad resultan\quad expresiones\quad muy\quad com-\quad \\ plicadas\quad de\quad manera\quad que\quad calcular\quad su\quad derivada\quad resultaría\quad complicado\\ para\quad esos\quad casos\quad existe\quad una\quad manera\quad de\quad resolver\quad ejercicios\quad de\quad este\quad \quad \\ tipo\quad sin\quad necesidad\quad de\quad resolver\quad la\quad ecuación\quad explicitamente\quad para\quad x\quad \\ o\quad para\quad y.\quad esta\quad tecnica\quad se\quad conoce\quad como\quad derivacion\quad implita,\quad lo\quad que\\ no\quad es\quad sino\quad una\quad aplicación\quad de\quad la\quad regla\quad de\quad la\quad cadena.\quad veamos:\quad \quad \quad $$
$$i)\quad hallar.-\quad \frac { dy }{ dx } \quad si:\quad { x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-2xy=6x+y+1,\quad supongamos:\quad y=f(x),\quad \quad \quad $$
$$entonces\quad la\quad ecuación\quad la\quad podemos\quad escribir:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ { x }^{ 2 }[f(x)]^{ 3 }-2xf(x)=6x+f(x)+1\quad derivando\quad los\quad dos\quad miembros\quad término\quad \\ a\quad término\quad con\quad respecto\quad a\quad x\quad tenemos:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$2x{ [f(x)] }^{ 3 }+{ 3x }^{ 2 }{ [f(x)] }^{ 2 }{ f }^{ ´ }(x)-2f(x)-2xf^{ ´ }(x)=6+{ f }^{ ´ }(x)$$
$$como:\quad y=f(x)\quad y\quad { f }^{ ´ }(x)=\frac { dy }{ dx } ;\quad sustituyendo\quad en\quad lo\quad anterior\quad tenemos:\\ \qquad 2x{ y }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }{ y }^{ ´ }-2y-2x{ y }^{ ´ }=6+{ y }^{ ´ }\\ \qquad 3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }{ y }^{ ´ }-2x{ y }^{ ´ }-{ y }^{ ´ }=2y-2x{ y }^{ 3 }+6\\ \qquad { y }^{ ´ }(3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-2x-1)=2y-2x{ y }^{ 3 }+6\\ \qquad { y }^{ ´ }=\frac { dy }{ dx } =\frac { 2y-2x{ y }^{ 3 }+6 }{ 3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-2x-1 } $$
$$De\quad este\quad teorema\quad podemos\quad encontrar\quad derivadas\quad de\quad funciones\quad tales\quad \quad \\ como:\quad sen(2x),\quad { sen }^{ 2 }(x),\quad { (2x+1) }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Ya\quad que\quad si:\quad f(x)=sen(2x)\quad entonces\quad hacemos:\quad g(x)=2x\quad donde\quad tendremos:\\ sen(2x)=sen(g(x))=f(x);\quad donde\quad por\quad el\quad teorema\quad anterior\quad tenemos\quad que:\quad $$
$${ f }^{ ´ }(x)=cos(g(x)){ g }^{ ´ }(x)=cos(2x)*2=2cos(2x)\quad \quad \quad \quad $$
$$De\quad manera\quad similar\quad f(x)={ sen }^{ 2 }x\quad y\quad si\quad hacemos\quad sen(x)=g(x)\quad tenemos\quad que:$$
$${ f´ }(x)=2g(x)*{ g }^{ ´ }(x)=2sen(x)cos(x)\quad \quad $$
$$sea\quad f(x)={ (2x+1) }^{ 2 };\quad como\quad ya\quad nos\quad hemos\quad familiarizado\quad podemos\quad hacer\\ el\quad procedimiento\quad directamente,\quad es\quad decir\quad sin\quad realizar\quad la\quad sustitución:\quad $$
$$entonces:\quad { f }^{ ´ }(x)=2(x+1)*2=4(x+1)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Notación\quad de\quad Leibniz.-\quad Sea\quad y=f(x),\quad entonces\quad en\quad lugar\quad de\quad { f }^{ ´ }(x)\quad Leibniz\\ utilizaba\quad la\quad notación:\quad \frac { dy }{ dx } (derivada\quad de\quad y\quad con\quad respecto\quad a\quad x)\quad \quad \quad $$
$$Regla\quad de\quad la\quad Cadena\quad en\quad la\quad Notación\quad de\quad Leibniz:\quad la\quad regla\quad de\quad la\quad cadena\\ es\quad un\quad ejemplo\quad para\quad mostrar\quad la\quad utilidad\quad de\quad la\quad notación\quad de\quad Leibniz\quad para\\ la\quad derivada.\quad En\quad efecto,\quad si\quad tenemos\quad u(x)=(fog)(x)=f(g(x)).\quad haciendo\quad \quad \quad \\ z=u(x)\quad e\quad y=g(x)\quad tenemos:\quad z=f(y)\quad y\quad en\quad este\quad caso:$$
$$\frac { dz }{ dx } ={ u }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(g(x)){ g }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(y){ g }^{ ´ }(x)\quad como:\quad \frac { dy }{ dx } ={ g }^{ ´ }(x);\quad \frac { dz }{ dy } ={ f }^{ ´ }(y):$$
$$\frac { dz }{ dx } =\frac { dz }{ dy } *\frac { dy }{ dx } ;\quad regla\quad de\quad la\quad cadena\quad en\quad la\quad notacion\quad de\quad Leibniz.\quad $$
$$i)\quad hallar:\quad \frac { dz }{ dx } \quad si:\quad z=seny,\quad y=cosx\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$sabemos\quad que:\frac { dz }{ dx } =\frac { dz }{ dy } *\frac { dy }{ dx } ;\quad luego:\quad \frac { dz }{ dx } =(cos(y))(-sen(x))=-cosysenx$$
$$sabemos\quad que:\frac { dz }{ dx } =\frac { dz }{ dy } *\frac { dy }{ dx } ;\quad luego:\quad \frac { dz }{ dx } =(cos(y))(-sen(x))=-cosysenx\\ es\quad decir:\quad \frac { dz }{ dz } =-cos(cosx)senx\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Derivacion\quad Implícita.-\quad Hasta\quad ahora\quad hemos\quad trabajado\quad con\quad expresiones\quad de\\ tipo:\quad y=\frac { { x }^{ 2+1 } }{ 2x-1 } ;\quad y={ x }^{ 5 }-{ 4 }x^{ 3 }-7;\quad y={ x }^{ 3 },\quad etc.\quad entodas\quad ellas\quad la\quad variable\quad indep-\\ endiente\quad y\quad esta\quad expresada\quad en\quad términos\quad de\quad la\quad variable\quad independiente\quad x.\quad \\ en\quad casos\quad como\quad estos\quad se\quad dice\quad que\quad y\quad esta\quad dada\quad explicitamente\quad en\quad función\\ de\quad x.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Sin\quad embargo,\quad hay\quad muchos\quad problemas\quad que\quad conducen\quad a\quad ecuaciones\quad que\quad \\ relacionan\quad 2\quad variables,\quad de\quad tal\quad manera\quad que\quad ninguna\quad de\quad ellas\quad aparece\quad \quad \\ despejada,\quad en\quad cualquiera\quad de\quad los\quad casos\quad se\quad dice\quad que\quad cualquiera\quad de\quad las\quad \\ variables\quad es\quad una\quad funcion\quad implicita\quad de\quad la\quad otra.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Asi\quad por\quad ejemplo:\quad x+y=5;\quad { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1;\quad xy=k$$
$$En\quad ocasiones\quad es\quad posible\quad despejar\quad una\quad variable\quad y\quad expesarla\quad como:\quad \quad \\ función\quad explicita\quad de\quad la\quad otra,\quad pero\quad en\quad otros\quad casos\quad resulta\quad imposible\quad \quad \\ despejar\quad una\quad e\quad las\quad variables\quad en\quad función\quad de\quad la\quad otra\quad como\quad ocurre\quad \quad \\ con:\quad { x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }+x{ y }^{ 3 }=1,\quad o\quad en\quad su\quad defecto\quad resultan\quad expresiones\quad muy\quad com-\quad \\ plicadas\quad de\quad manera\quad que\quad calcular\quad su\quad derivada\quad resultaría\quad complicado\\ para\quad esos\quad casos\quad existe\quad una\quad manera\quad de\quad resolver\quad ejercicios\quad de\quad este\quad \quad \\ tipo\quad sin\quad necesidad\quad de\quad resolver\quad la\quad ecuación\quad explicitamente\quad para\quad x\quad \\ o\quad para\quad y.\quad esta\quad tecnica\quad se\quad conoce\quad como\quad derivacion\quad implita,\quad lo\quad que\\ no\quad es\quad sino\quad una\quad aplicación\quad de\quad la\quad regla\quad de\quad la\quad cadena.\quad veamos:\quad \quad \quad $$
$$i)\quad hallar.-\quad \frac { dy }{ dx } \quad si:\quad { x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-2xy=6x+y+1,\quad supongamos:\quad y=f(x),\quad \quad \quad $$
$$entonces\quad la\quad ecuación\quad la\quad podemos\quad escribir:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ { x }^{ 2 }[f(x)]^{ 3 }-2xf(x)=6x+f(x)+1\quad derivando\quad los\quad dos\quad miembros\quad término\quad \\ a\quad término\quad con\quad respecto\quad a\quad x\quad tenemos:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$2x{ [f(x)] }^{ 3 }+{ 3x }^{ 2 }{ [f(x)] }^{ 2 }{ f }^{ ´ }(x)-2f(x)-2xf^{ ´ }(x)=6+{ f }^{ ´ }(x)$$
$$como:\quad y=f(x)\quad y\quad { f }^{ ´ }(x)=\frac { dy }{ dx } ;\quad sustituyendo\quad en\quad lo\quad anterior\quad tenemos:\\ \qquad 2x{ y }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }{ y }^{ ´ }-2y-2x{ y }^{ ´ }=6+{ y }^{ ´ }\\ \qquad 3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }{ y }^{ ´ }-2x{ y }^{ ´ }-{ y }^{ ´ }=2y-2x{ y }^{ 3 }+6\\ \qquad { y }^{ ´ }(3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-2x-1)=2y-2x{ y }^{ 3 }+6\\ \qquad { y }^{ ´ }=\frac { dy }{ dx } =\frac { 2y-2x{ y }^{ 3 }+6 }{ 3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-2x-1 } $$
domingo, 28 de diciembre de 2014
Propiedades de la Derivada
$$teorema.-\quad Si\quad f\quad y\quad g\quad son\quad derivables\quad entonces:\quad f+g;f-g;f*g;\frac { f }{ g } son\\ derivables\quad en\quad x(en\quad el\quad caso\quad del\quad cociente\quad g\neq 0)\quad ademas:\quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad$$
$$i)\quad { (f+g) }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(x)+{ g }^{ ´ }(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad ii)\quad { (f-g) }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(x)-{ g }^{ ´ }(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad iii)\quad { (f*g) }^{ ´ }(x)=f(x){ g }^{ ´ }(x)+{ f }^{ ´ }(x)g(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad iv)\quad { (\frac { f }{ g } ) }^{ ´ }(x)=\frac { { f }^{ ´ }(x)g(x)-f(x){ g }^{ ´ }(x) }{ { g }^{ 2 }(x) } ;\quad g(x)\neq 0\quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas.-
$$*)\quad Derivada\quad de\quad la\quad tangente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Sea:\quad tan(x)=\frac { sen(x) }{ cos(x) } ;\quad aplicando\quad la\quad parte\quad iv)\quad del\quad teorema\quad anterior$$
$${ f }^{ ´ }(x)=\frac { cos(x)cos(x)-sen(x)(-sen(x)) }{ { cos }^{ 2 }(x) } =\frac { { cos }^{ 2 }x+{ sen }^{ 2 }x }{ { cos }^{ 2 }(x) } =\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }(x) } ={ sec }^{ 2 }x$$
$$**)\quad Derivada\quad de\quad la\quad cotangente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Sea:\quad cot(x)=\frac { 1 }{ tan(x) } ;\quad aplicando\quad la\quad parte\quad iv\quad del\quad teorema\quad anterior$$
$${ f }^{ ´ }(x)=\frac { tan(x)*0-({ sec }^{ 2 }x) }{ { tan }^{ 2 }x } =\frac { -{ sec }^{ 2 }x }{ { tan }^{ 2 }x } =-\frac { \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }x } }{ \frac { { sen }^{ 2 }x }{ { cos }^{ 2 }x } } =-\frac { 1 }{ { sen }^{ 2 }x } =-{ csc }^{ 2 }x\quad $$
$$***)\quad Derivada\quad de\quad la\quad secante.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Sea:\quad sec(x)=\frac { 1 }{ cos(x) } ;\quad aplicando\quad la\quad parte\quad iv)\quad del\quad teorema\quad anterior$$
$${ f }^{ ´ }(x)=\frac { cos(x)*0-1(-sen(x)) }{ { cos }^{ 2 }x } =\frac { -sen(x) }{ { cos }^{ 2 }x } =\frac { senx }{ cosx } *\frac { 1 }{ cosx } =tanxsecx\quad $$
$$****)\quad Derivada\quad de\quad la\quad cosecante.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Sea:\quad csc(x)=\frac { 1 }{ sen(x) } ;\quad aplicando\quad la\quad parte\quad iv)\quad del\quad teorema\quad anterior$$
$$\quad { f }^{ ´ }(x)=\frac { sen(x)*0-1(cos(x)) }{ { sen }^{ 2 }x } =\frac { -cos(x) }{ { sen }^{ 2 }x } =-\frac { cos(x) }{ sen(x) } \frac { 1 }{ sen(x) } =-csc(x)cot(x)\quad \quad $$
$$i)\quad { (f+g) }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(x)+{ g }^{ ´ }(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad ii)\quad { (f-g) }^{ ´ }(x)={ f }^{ ´ }(x)-{ g }^{ ´ }(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad iii)\quad { (f*g) }^{ ´ }(x)=f(x){ g }^{ ´ }(x)+{ f }^{ ´ }(x)g(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad iv)\quad { (\frac { f }{ g } ) }^{ ´ }(x)=\frac { { f }^{ ´ }(x)g(x)-f(x){ g }^{ ´ }(x) }{ { g }^{ 2 }(x) } ;\quad g(x)\neq 0\quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas.-
$$*)\quad Derivada\quad de\quad la\quad tangente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Sea:\quad tan(x)=\frac { sen(x) }{ cos(x) } ;\quad aplicando\quad la\quad parte\quad iv)\quad del\quad teorema\quad anterior$$
$${ f }^{ ´ }(x)=\frac { cos(x)cos(x)-sen(x)(-sen(x)) }{ { cos }^{ 2 }(x) } =\frac { { cos }^{ 2 }x+{ sen }^{ 2 }x }{ { cos }^{ 2 }(x) } =\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }(x) } ={ sec }^{ 2 }x$$
$$**)\quad Derivada\quad de\quad la\quad cotangente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Sea:\quad cot(x)=\frac { 1 }{ tan(x) } ;\quad aplicando\quad la\quad parte\quad iv\quad del\quad teorema\quad anterior$$
$${ f }^{ ´ }(x)=\frac { tan(x)*0-({ sec }^{ 2 }x) }{ { tan }^{ 2 }x } =\frac { -{ sec }^{ 2 }x }{ { tan }^{ 2 }x } =-\frac { \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }x } }{ \frac { { sen }^{ 2 }x }{ { cos }^{ 2 }x } } =-\frac { 1 }{ { sen }^{ 2 }x } =-{ csc }^{ 2 }x\quad $$
$$***)\quad Derivada\quad de\quad la\quad secante.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Sea:\quad sec(x)=\frac { 1 }{ cos(x) } ;\quad aplicando\quad la\quad parte\quad iv)\quad del\quad teorema\quad anterior$$
$${ f }^{ ´ }(x)=\frac { cos(x)*0-1(-sen(x)) }{ { cos }^{ 2 }x } =\frac { -sen(x) }{ { cos }^{ 2 }x } =\frac { senx }{ cosx } *\frac { 1 }{ cosx } =tanxsecx\quad $$
$$****)\quad Derivada\quad de\quad la\quad cosecante.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ Sea:\quad csc(x)=\frac { 1 }{ sen(x) } ;\quad aplicando\quad la\quad parte\quad iv)\quad del\quad teorema\quad anterior$$
$$\quad { f }^{ ´ }(x)=\frac { sen(x)*0-1(cos(x)) }{ { sen }^{ 2 }x } =\frac { -cos(x) }{ { sen }^{ 2 }x } =-\frac { cos(x) }{ sen(x) } \frac { 1 }{ sen(x) } =-csc(x)cot(x)\quad \quad $$
Relación entre Derivabilidad y Continuidad
Derivadas a Derecha e Izquierda.-
$$Recrdemos\quad que:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)\quad existe\quad si\quad y\quad solo\quad si:\quad \lim _{ x\rightarrow { { x }_{ 0 } }^{ + } }{ f(x)= } \lim _{ { { x }_{ 0 } }^{ - } }{ f(x),\quad como } } \\ la\quad derivada\quad de\quad la\quad función\quad f\quad en\quad { x }_{ 0 }\quad esta\quad dada\quad por:\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } \quad } \\ dicha\quad derivada\quad existira\quad si\quad y\quad solo\quad si:\quad \lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } \\ podemos\quad definir:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$A\quad los\quad límites:\quad \lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } ,\quad si\quad existen,se\quad les\quad \quad \\ denomina\quad derivada\quad a\quad derecha\quad y\quad derivada\quad a\quad izquierda\quad de\quad f\quad en\quad el\quad punto\quad \\ { x }_{ 0 }\quad y\quad se\quad notan:\quad { { f }^{ ´ } }_{ + }({ x }_{ 0 })\quad y\quad { { f }^{ ´ } }_{ - }({ x }_{ 0 })\quad respectivamente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$i)\quad si:\quad { { f }^{ ´ } }_{ + }({ x }_{ 0 })\quad y\quad { { f }^{ ´ } }_{ - }({ x }_{ 0 })\quad existen\quad y\quad si\quad ademas:\quad { { f }^{ ´ } }_{ + }({ x }_{ 0 })={ { f }^{ ´ } }_{ - }({ x }_{ 0 })\quad entonces\quad se\\ dice\quad que\quad existe\quad la\quad derivada\quad de\quad la\quad función\quad f\quad en\quad el\quad punto\quad { x }_{ 0 }.\quad Es\quad decir\quad \\ que\quad si:\quad { { f }^{ ´ } }_{ + }({ x }_{ 0 })\neq { { f }^{ ´ } }_{ - }({ x }_{ 0 })\quad entonces\quad f\quad no\quad es\quad derivable\quad en\quad { x }_{ 0. }$$
$$Sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad por:\quad f(x)=\sqrt { { x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 } } definida\quad en:\quad [-1,+\infty )\quad \\ ¿es\quad f\quad derivable\quad en\quad 0?\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \quad \qquad \qquad veamos:\quad \sqrt { { x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 } } =\left| x \right| \sqrt { x+1 } ,\quad entonces:\quad $$
$${ { f }^{ ´ } }_{ + }(0)=\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { f(0+h)-f(0) }{ h } } \lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { \left| h \right| \sqrt { h+1 } }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { h\sqrt { h+1 } }{ h } } $$
$$\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \sqrt { h+1 } =1 } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\quad { { f }^{ ´ } }_{ - }(0)=\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { f(0+h)-f(0) }{ h } } \lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { \left| h \right| \sqrt { h+1 } }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { -h\sqrt { h+1 } }{ h } } $$
$$=\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ -\sqrt { h+1 } =-1 } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$como:{ { f }^{ ´ } }_{ + }(0)\neq { { f }^{ ´ } }_{ - }(0)\quad se\quad sigue\quad que\quad f\quad no\quad es\quad derivable\quad en\quad x=0.\quad \quad $$
Relación Entre Derivabilidad y Continuidad.-
$$Teorema.-\quad Si\quad f\quad es\quad derivable\quad en\quad { x }_{ 0 },\quad entonces\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0\\ }$$
$$i)\quad El\quad reciproco\quad del\quad teorema\quad anterior\quad no\quad siempre\quad es\quad verdadero,\quad es\\ decir\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0 }\quad en\quad general\quad no\quad es\quad cierto\quad que\quad f\quad es\quad \\ derivable\quad en\quad { x }_{ 0 }.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Recrdemos\quad que:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)\quad existe\quad si\quad y\quad solo\quad si:\quad \lim _{ x\rightarrow { { x }_{ 0 } }^{ + } }{ f(x)= } \lim _{ { { x }_{ 0 } }^{ - } }{ f(x),\quad como } } \\ la\quad derivada\quad de\quad la\quad función\quad f\quad en\quad { x }_{ 0 }\quad esta\quad dada\quad por:\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } \quad } \\ dicha\quad derivada\quad existira\quad si\quad y\quad solo\quad si:\quad \lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } \\ podemos\quad definir:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$A\quad los\quad límites:\quad \lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } ,\quad si\quad existen,se\quad les\quad \quad \\ denomina\quad derivada\quad a\quad derecha\quad y\quad derivada\quad a\quad izquierda\quad de\quad f\quad en\quad el\quad punto\quad \\ { x }_{ 0 }\quad y\quad se\quad notan:\quad { { f }^{ ´ } }_{ + }({ x }_{ 0 })\quad y\quad { { f }^{ ´ } }_{ - }({ x }_{ 0 })\quad respectivamente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$i)\quad si:\quad { { f }^{ ´ } }_{ + }({ x }_{ 0 })\quad y\quad { { f }^{ ´ } }_{ - }({ x }_{ 0 })\quad existen\quad y\quad si\quad ademas:\quad { { f }^{ ´ } }_{ + }({ x }_{ 0 })={ { f }^{ ´ } }_{ - }({ x }_{ 0 })\quad entonces\quad se\\ dice\quad que\quad existe\quad la\quad derivada\quad de\quad la\quad función\quad f\quad en\quad el\quad punto\quad { x }_{ 0 }.\quad Es\quad decir\quad \\ que\quad si:\quad { { f }^{ ´ } }_{ + }({ x }_{ 0 })\neq { { f }^{ ´ } }_{ - }({ x }_{ 0 })\quad entonces\quad f\quad no\quad es\quad derivable\quad en\quad { x }_{ 0. }$$
$$Sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad por:\quad f(x)=\sqrt { { x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 } } definida\quad en:\quad [-1,+\infty )\quad \\ ¿es\quad f\quad derivable\quad en\quad 0?\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \quad \qquad \qquad veamos:\quad \sqrt { { x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 } } =\left| x \right| \sqrt { x+1 } ,\quad entonces:\quad $$
$${ { f }^{ ´ } }_{ + }(0)=\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { f(0+h)-f(0) }{ h } } \lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { \left| h \right| \sqrt { h+1 } }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { h\sqrt { h+1 } }{ h } } $$
$$\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \sqrt { h+1 } =1 } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\quad { { f }^{ ´ } }_{ - }(0)=\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { f(0+h)-f(0) }{ h } } \lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { \left| h \right| \sqrt { h+1 } }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { -h\sqrt { h+1 } }{ h } } $$
$$=\lim _{ h\rightarrow { 0 }^{ - } }{ -\sqrt { h+1 } =-1 } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$como:{ { f }^{ ´ } }_{ + }(0)\neq { { f }^{ ´ } }_{ - }(0)\quad se\quad sigue\quad que\quad f\quad no\quad es\quad derivable\quad en\quad x=0.\quad \quad $$
Relación Entre Derivabilidad y Continuidad.-
$$Teorema.-\quad Si\quad f\quad es\quad derivable\quad en\quad { x }_{ 0 },\quad entonces\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0\\ }$$
$$i)\quad El\quad reciproco\quad del\quad teorema\quad anterior\quad no\quad siempre\quad es\quad verdadero,\quad es\\ decir\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0 }\quad en\quad general\quad no\quad es\quad cierto\quad que\quad f\quad es\quad \\ derivable\quad en\quad { x }_{ 0 }.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
Quienes Somos?
A lo largo de nuestra vida estudiantil nos encontramos con muchas dudas, las cuales en muchas ocasiones no podemos aclarar con un libro, mas aun si nos referimos a una materia como Calculo, por esa razón tratare de dejar la materia lo mas claro posible y aclarar dudas con ejercicios resueltos los cuales dejare a su disposición ya que en esta materia la forma mas fácil de aprender es mediante los ejercicios prácticos los cuales en muchas ocasiones no logramos entender y por esa razón no los podemos resolver. Espero aquí encuentren lo que buscan y puedan aclarar sus dudas a través de los ejercicios resueltos y les sirva para su vida estudiantil.
Derivación
$$Motivación\quad Geométrica.-Nuestro\quad problema\quad es\quad determinar\quad la\quad recta\quad tangente\quad a\quad una\quad \quad \quad \\ curva\quad en\quad el\quad punto\quad P\quad de\quad abcsisa\quad { x }_{ 0 },\quad sabemos\quad que\quad una\quad recta\quad quedaria\quad completamente\\ caracterizada\quad si\quad conocemos\quad dos\quad puntos\quad que\quad pertenecen\quad a\quad ella,\quad o\quad si\quad conocemos\quad su\quad \quad \\ pendiente\quad y\quad un\quad punto.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Si\quad unicamente\quad tenemos\quad el\quad punto:\quad p({ x }_{ 0 };f({ x }_{ 0 }))\quad y\quad queremos\quad determinar\quad la\quad pendiente\quad de\quad \\ la\quad recta\quad tangente\quad en\quad dicho\quad punto.\quad Para\quad ello\quad consideremos\quad a\quad mas\quad del\quad punto\quad P,\quad el\quad \quad \\ punto\quad Q({ x }_{ 0 }+h;f({ x }_{ 0 }+h));\quad estos\quad dos\quad puntos\quad definen\quad una\quad recta\quad secante\quad a\quad la\quad curva\quad \\ cuya\quad pendiente\quad esta\quad dada\quad por:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad \qquad \qquad m=\frac { f({ x }_{ 0 }+h)-f({ x }_{ 0 }) }{ h } =tan\theta $$
$$Si\quad el\quad punto\quad Q\quad lo\quad movemos\quad aproximandonos\quad hacia\quad el\quad punto\quad P(o\quad sea\quad que\quad el\quad valor\quad de\\ h\quad se\quad acerca\quad a\quad cero)la\quad recta\quad secante\quad tiende\quad a\quad convertirse\quad en\quad la\quad recta\quad tangente\quad a\quad la\\ curva\quad en\quad el\quad punto\quad P.\quad entonces\quad se\quad define\quad la\quad pendiente\quad de\quad la\quad recta\quad tangente\quad como:\quad \\ \qquad \qquad \qquad { m }_{ tangente }=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f({ x }_{ 0 }+h)-f({ x }_{ 0 }) }{ h } } =tan\alpha $$
$$Motivación\quad Física.-Consideremos\quad una\quad partícula\quad moviendose\quad a\quad lo\quad largo\quad de\quad una\quad recta\\ del\quad punto\quad A\quad al\quad punto\quad B.\quad Si\quad el\quad movimiento\quad es\quad uniforme\quad y\quad si\quad S(t)\quad nos\quad da\quad la\quad \quad \\ posición\quad de\quad la\quad partícula\quad en\quad el\quad instante\quad t.\quad la\quad posición\quad de\quad la\quad partícula\quad es\quad S(t).\quad \quad \\ Nos\quad interesa\quad ahora\quad el\quad caso\quad en\quad que\quad la\quad partícula\quad se\quad desplaza\quad no\quad con\quad velocidad\quad \\ constante,\quad sino\quad mas\quad bien\quad con\quad una\quad velocidad\quad variable\quad y\quad nuestro\quad objetivo\quad es\quad determi-\\ ar\quad la\quad velocidad\quad de\quad la\quad partícula\quad en\quad cada\quad instante\quad t.\quad Para\quad ello,\quad supongamos\quad conocida\\ la\quad funcion\quad de\quad posicion\quad s\quad de\quad la\quad particula.\quad Es\quad decir,\quad en\quad el\quad instante,\quad la\quad posición\quad de\quad \\ la\quad particula\quad es\quad S(t).\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$Para\quad llegar\quad a\quad definir\quad la\quad velocidad\quad de\quad la\quad partícula\quad en\quad el\quad instante\quad t,\quad utilizaremos\quad el\\ concepto\quad de\quad velocidad\quad media,\quad en\quad el\quad intervalo\quad \left[ t,t+h \right] \quad la\quad misma\quad que\quad esta\quad dada\quad por: $$
$${ \qquad \qquad \qquad \qquad v }_{ m }=\frac { s(t+h)-s(t) }{ h } $$
$$Si\quad el\quad valor\quad de\quad h\quad consideramos\quad cada\quad vez\quad mas\quad cercano\quad a\quad cero,\quad es\quad claro\quad que\quad la\quad vel-\\ ocidad\quad media\quad de\quad la\quad particula\quad en\quad dicho\quad intervalo\quad se\quad aproxima\quad mas\quad a\quad la\quad velocidad\quad \\ en\quad el\quad instante\quad t.\quad en\quad cosecuencia\quad podemos\quad definir\quad la\quad velocidad\quad instantanea\quad en\quad t\quad \quad \\ como\quad el\quad limite\quad de\quad las\quad velocidades\quad medias\quad en\quad \left[ t,t+h \right] \quad cuado\quad h\rightarrow 0\quad es\quad decir:\quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad \qquad \qquad v(t)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { s(t+h)-s(t) }{ h } } $$
Derivada de una Función en un punto.-
$$Definición.-\quad Sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad en\quad (a,b)y\quad x\quad \epsilon \quad (a,b).\quad se\quad dice\quad que\quad f\quad es\quad \\ derivable\quad en\quad x\quad si:\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } existe.\quad en\quad tal\quad caso\quad el\quad limite\quad se\quad denomina\quad la } \\ derivada\quad de\quad f\quad en\quad x\quad y\quad se\quad nota:\quad { f }^{ ' }(x);\quad es\quad decir:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$\qquad \qquad \qquad \qquad { f }^{ ` }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } \quad $$
Observación.- $$Puesto\quad que\quad si\quad el\quad limite\quad existe,\quad este\quad es\quad único,\quad se\quad sigue\quad que\quad la\quad derivada\quad de\quad una\quad \\ función\quad en\quad un\quad punto,\quad si\quad existe\quad es\quad única.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
Derivada de las Funciones Usuales en un Punto.
$$i)\quad Sea\quad la\quad funcion\quad f\quad definida\quad por:\quad f(x)=k,\quad \forall x\quad \epsilon \quad R.$$
$$\qquad { f }^{ ` }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { k-k }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ 0=0 } } } $$
$$ii)\quad sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad por\quad f(x)=x,\quad \forall x\quad \epsilon \quad R$$
$${ f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { (x+h)-x }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { h }{ h } } } } \quad $$
$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { h }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ 1= } 1.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$iii)\quad sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad por:\quad f(x)={ x }^{ n }\quad n\quad \epsilon \quad { Z }^{ + }\quad $$
$${ f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { (x+h) }^{ n }-{ x }^{ n } }{ h } } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } $$
$$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { (x+h-x)({ (x+h) }^{ n-1 }+{ (x+h) }^{ n-2 }x+{ (x+h) }^{ n-3 }{ x }^{ 2 }+.....+{ x }^{ n-1 }) }{ h } } $$
$$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ ({ (x+h) }^{ n-1 }+{ (x+h) }^{ n-2 }x+{ (x+h) }^{ n-3 }{ x }^{ 2 }+.....+{ x }^{ n-1 }) } ={ x }^{ n-1 }+{ x }^{ n-2 }x+....+{ x }^{ n-1 }=n{ x }^{ n-1 }$$
$$iv)\quad sea\quad f\quad la\quad función\quad definida\quad por:\quad f(x)={ x }^{ 1/n }=\sqrt [ n ]{ x } ;\quad n\quad \epsilon \quad { Z }^{ + },\quad x>0\\ \qquad Sea:\quad y={ (x+h) }^{ 1/n }y\quad z={ x }^{ 1/n },\quad se\quad tiene\quad que:\quad (x+h)={ y }^{ n };\quad x={ z }^{ n }\quad y\quad h={ y }^{ n }-{ z }^{ n }$$
$${ f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } = } \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { y-z }{ { y }^{ n }-{ z }^{ n } } } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { y-z }{ (y-z)({ y }^{ n-1 }+{ y }^{ n-2 }z+{ y }^{ n-3 }{ z }^{ 2 }+......+y{ z }^{ n-2 }+{ z }^{ n-1 }) } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ ({ y }^{ n-1 }+{ y }^{ n-2 }z+......+y{ z }^{ n-2 }+{ z }^{ n-1 }) } } } $$
$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ \left[ { (x+h) }^{ 1/n } \right] ^{ n-1 }+\left[ { (x+h) }^{ 1/n } \right] ^{ n-2 }{ x }^{ 1/n }+.........+{ { (x }^{ 1/n }) }^{ n-1 } } =\frac { 1 }{ { x }^{ \frac { n-1 }{ n } }+{ x }^{ \frac { n-1 }{ n } }+.........+{ x }^{ \frac { n-1 }{ n } } } } $$
$$=\frac { 1 }{ n{ x }^{ 1-\frac { 1 }{ n } } } =\frac { 1 }{ n } { x }^{ \frac { 1 }{ n } -1 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$v)\quad sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad por:\quad f(x)=sen(x)\\ \qquad puesto\quad que:\quad sen(a)+sen(b)=2sen(\frac { a-b }{ 2 } )cos(\frac { a+b }{ 2 } )\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$${ f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { sen(x+h)-sen(x) }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 2sen(\frac { x+h-x }{ 2 } )cos(\frac { x+h+x }{ 2 } ) }{ h } } } } $$
$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 2 }{ 2 } sen(\frac { h }{ 2 } ) }{ \frac { h }{ 2 } } } *\lim _{ h\rightarrow 0 }{ cos(x+\frac { h }{ 2 } ) } =cosx\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$$vi)\quad sea\quad la\quad función\quad f\quad definida\quad por:f(x)=cos(x)\\ \qquad como:\quad cos(a)-cos(b)=-2sen(\frac { a+b }{ 2 } )sen(\frac { a-b }{ 2 } )\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$${ f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } = } \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { cos(x+h)-cos(x) }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -2sen(\frac { x+h+x }{ 2 } )sen(\frac { x+h-x }{ 2 } ) }{ h } } } $$
$$=-\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { sen(\frac { h }{ 2 } ) }{ \frac { h }{ 2 } } } *\lim _{ h\rightarrow 0 }{ sen(x+\frac { h }{ 2 } ) } =-1*sen(x)=-senx\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
La Función Derivada.-
$$Sea:\quad f\quad una\quad función\quad derivable\quad en\quad (a,b),\quad se\quad llama\quad función\quad derivada\\ de\quad la\quad funcion\quad f\quad y\quad se\quad nota\quad { f }^{ ´ }\quad a\quad la\quad función\quad que\quad asocia\quad todo\quad elemento\\ x\quad de\quad (a,b)la\quad derivada\quad de\quad f\quad en\quad el\quad punto\quad x,\quad es\quad decir:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$${ f }^{ ´ }:(a,b)\quad \rightarrow \quad R\quad \quad \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x\rightarrow { f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } \quad \quad $$
$$Sea:\quad f\quad una\quad función\quad derivable\quad en\quad (a,b),\quad se\quad llama\quad función\quad derivada\\ de\quad la\quad funcion\quad f\quad y\quad se\quad nota\quad { f }^{ ´ }\quad a\quad la\quad función\quad que\quad asocia\quad todo\quad elemento\\ x\quad de\quad (a,b)la\quad derivada\quad de\quad f\quad en\quad el\quad punto\quad x,\quad es\quad decir:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
$${ f }^{ ´ }:(a,b)\quad \rightarrow \quad R\quad \quad \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x\rightarrow { f }^{ ´ }(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } } \quad \quad $$
viernes, 26 de diciembre de 2014
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES CONTINUAS.
A continuación enunciaremos los principales teoremas sobre funciones continuas los cuales nos ayudaran a resolver problemas y ejercicios propuestos.
$$i)\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0 }\quad y\quad g\quad es\quad continua\quad en\quad f({ x }_{ 0 })\\ entonces:\quad gof\quad es\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0 }$$
$$ii)\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad L\quad y\quad \lim _{ x\rightarrow a }{ g(x)=L,\quad entonces:\quad } \\ \qquad \qquad \lim _{ x\rightarrow a }{ f(g(x))=f(L) } $$
$$iii)\quad la\quad inversa\quad de\quad una\quad funcion\quad continua\quad si\quad existe\quad es\quad \\ continua.$$
$$iv)\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\left[ a;b \right] entonces\quad f\quad es\quad acotada\quad en\left[ a;b \right] $$
$$v)\quad sea\quad f\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0 }.\quad si:f({ x }_{ 0 })\neq 0,\quad existe\quad un\quad \quad \quad \\ intervalo\quad ({ x }_{ 0 }-\delta ;{ x }_{ 0 }+\delta )tal\quad que\quad f(x)tiene\quad el\quad mismo\quad signo\quad que\\ f({ x }_{ 0 }),\forall x\quad \epsilon \quad ({ x }_{ 0 }-\delta ;{ x }_{ 0 }+\delta )\quad (teorema\quad de\quad conservacion\quad del\quad signo\\ para\quad funciones\quad continuas)$$
$$vi)Sea\quad f\quad continua\quad en\quad \left[ a;b \right] .\quad si:\quad f(a)\neq f(b)\quad entonces\quad f\quad toma\\ todos\quad los\quad valores\quad comprendidos\quad entre\quad f(a)\quad y\quad f(b).\quad (teorema\quad \\ del\quad valor\quad medio\quad para\quad funciones\quad continuas)$$
$$vii)\quad sea\quad f\quad continua\quad en\quad \left[ a;b \right] .\quad si\quad f(a)\quad y\quad f(b)\quad tienen\quad \\ distinto\quad signo,\quad existe:\quad a<c<b\quad tal\quad que:\quad f(c)=0.\quad (teorema\quad de\quad bolzano)$$
$$i)\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0 }\quad y\quad g\quad es\quad continua\quad en\quad f({ x }_{ 0 })\\ entonces:\quad gof\quad es\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0 }$$
$$ii)\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad L\quad y\quad \lim _{ x\rightarrow a }{ g(x)=L,\quad entonces:\quad } \\ \qquad \qquad \lim _{ x\rightarrow a }{ f(g(x))=f(L) } $$
$$iii)\quad la\quad inversa\quad de\quad una\quad funcion\quad continua\quad si\quad existe\quad es\quad \\ continua.$$
$$iv)\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\left[ a;b \right] entonces\quad f\quad es\quad acotada\quad en\left[ a;b \right] $$
$$v)\quad sea\quad f\quad continua\quad en\quad { x }_{ 0 }.\quad si:f({ x }_{ 0 })\neq 0,\quad existe\quad un\quad \quad \quad \\ intervalo\quad ({ x }_{ 0 }-\delta ;{ x }_{ 0 }+\delta )tal\quad que\quad f(x)tiene\quad el\quad mismo\quad signo\quad que\\ f({ x }_{ 0 }),\forall x\quad \epsilon \quad ({ x }_{ 0 }-\delta ;{ x }_{ 0 }+\delta )\quad (teorema\quad de\quad conservacion\quad del\quad signo\\ para\quad funciones\quad continuas)$$
$$vi)Sea\quad f\quad continua\quad en\quad \left[ a;b \right] .\quad si:\quad f(a)\neq f(b)\quad entonces\quad f\quad toma\\ todos\quad los\quad valores\quad comprendidos\quad entre\quad f(a)\quad y\quad f(b).\quad (teorema\quad \\ del\quad valor\quad medio\quad para\quad funciones\quad continuas)$$
$$vii)\quad sea\quad f\quad continua\quad en\quad \left[ a;b \right] .\quad si\quad f(a)\quad y\quad f(b)\quad tienen\quad \\ distinto\quad signo,\quad existe:\quad a<c<b\quad tal\quad que:\quad f(c)=0.\quad (teorema\quad de\quad bolzano)$$
Limites Infinitos y Limites Trigonométricos.
Limites Infinitos y limites al infinito.-
Hablaremos de el comportamiento de ciertas funciones que al acercarse a un punto crecen o decrecen indefinidamente es decir tienden a mas o menos infinito (asindotas verticales ), también de ciertas funciones que cuando x crece o decrece indefinidamente se acercan a un punto L y de funciones que al hacer crecer x crecen o decrecen indefinidamente es decir tienden a mas o menos infinito.
a continuación definiremos cada caso y daremos su definición formal:
$$i)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x)=L;es\quad decir\quad que\quad si\quad x\quad crece\quad indefinidamente\quad entonces\quad } \\ los\quad valores\quad de\quad f(x)\quad se\quad acercan\quad cada\quad vez\quad mas\quad a\quad un\quad punto\quad L.\\ \qquad def:\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x)=L\quad si\quad \forall \varepsilon >0;\exists M>0\quad tal\quad que\quad si:x>M\quad entonces\left| f(x)-L \right| <\varepsilon }$$
$$ii)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ f(x)=L;\quad es\quad decir\quad si\quad x\quad decrece\quad indefinidamente\quad entonces\quad } \\ los\quad valores\quad de\quad f(x)\quad se\quad acercan\quad cada\quad vez\quad mas\quad a\quad un\quad punto\quad L.\\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ f(x)=L\quad si\quad \forall \varepsilon >0;\exists M<0\quad tal\quad que\quad si:x<M\quad entonces\left| f(x)-L \right| <\varepsilon \quad } $$
$$De\quad i)\quad y\quad ii)\quad podemos\quad deducir:\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ x } } =0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ \frac { 1 }{ x } } =0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { x }^{ p } } } =0;\quad p>0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ { e }^{ -x } } =0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ { e }^{ x }=0 }$$
$$iii)\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=+\infty ;es\quad decir\quad cuando\quad x\quad se\quad acerca\quad a\quad { x }_{ 0 }\quad por\quad la\quad izquierda } \\ y\quad por\quad la\quad derecha\quad los\quad valores\quad de\quad f(x)\quad crecen\quad indefinidamente.\\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=+\infty \quad si\quad \forall M>0;\quad \exists \delta >0\quad tal\quad que\quad 0<\left| x-{ x }_{ 0 } \right| } <\delta \quad entonces:f(x)>M$$
$$iv)\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=-\infty ;\quad es\quad decir\quad cuando\quad x\quad se\quad acerca\quad a\quad { x }_{ 0 }\quad por\quad la\quad izquierda\quad } \\ y\quad por\quad la\quad derecha\quad los\quad valores\quad de\quad f(x)\quad decrecen\quad indefinidamente.\\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=-\infty \quad si\quad \forall M<0;\quad \exists \delta >0\quad tal\quad que\quad 0<\left| x-{ x }_{ 0 } \right| } <\delta \quad entonces:f(x)<M$$
$$v)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x) } =+\infty ;\quad es\quad decir\quad que\quad cuando\quad x\quad crece\quad indefinidamente\quad \\ entonces:\quad f(x)\quad tambien\quad crece\quad indefinidamente.\\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x)=+\infty \Leftrightarrow \forall M>0;\quad \exists N>0\quad tal\quad que\quad si:x>N\quad entonces:\quad f(x)>M\quad } $$
$$vi)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x) } =-\infty ;\quad es\quad decir\quad que\quad cuando\quad x\quad crece\quad indefinidamente\quad \\ entonces:\quad f(x)\quad decrece\quad indefinidamente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall M<0;\quad \exists N>0\quad tal\quad que\quad si:x>N\quad entonces:\quad f(x)<M\quad } $$
$$vi)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ f(x) } =+\infty ;\quad es\quad decir\quad que\quad cuando\quad x\quad decrece\quad indefinidamente\quad \\ entonces:\quad f(x)\quad crece\quad indefinidamente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ f(x)=+\infty \Leftrightarrow \forall M<0;\quad \exists N<0\quad tal\quad que\quad si:x<N\quad entonces:\quad f(x)>M\quad } $$
$$vii)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ f(x) } =-\infty ;\quad es\quad decir\quad que\quad cuando\quad x\quad decrece\quad indefinidamente\quad \\ entonces:\quad f(x)\quad tambien\quad decrece\quad indefinidamente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall M<0;\quad \exists N<0\quad tal\quad que\quad si:x<N\quad entonces:\quad f(x)<M\quad } $$
Se Define:
$$*)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ { e }^{ \frac { 1 }{ x } }=+\infty } \\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ { e }^{ \frac { 1 }{ x } } } =0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ (logx)=+\infty } \\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ (logx)=-\infty } $$
Limite Trigonométrico Fundamental.
$$Veamos:\quad \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { senx }{ x } ;\quad } donde\quad si\quad reemplazamos\quad directamente\\ tenemos\quad una\quad indeterminacion:\quad \frac { 0 }{ 0 } .\\ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { senx }{ x } ;\quad } conocido\quad como\quad limite\quad trigonometrico\quad fundamental,\\ y:\quad \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { senx }{ x } =1\quad }$$
Les Dejare un Archivo Pdf con ejercicios resueltos de estos temas: aquí el enlace
Hablaremos de el comportamiento de ciertas funciones que al acercarse a un punto crecen o decrecen indefinidamente es decir tienden a mas o menos infinito (asindotas verticales ), también de ciertas funciones que cuando x crece o decrece indefinidamente se acercan a un punto L y de funciones que al hacer crecer x crecen o decrecen indefinidamente es decir tienden a mas o menos infinito.
a continuación definiremos cada caso y daremos su definición formal:
$$i)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x)=L;es\quad decir\quad que\quad si\quad x\quad crece\quad indefinidamente\quad entonces\quad } \\ los\quad valores\quad de\quad f(x)\quad se\quad acercan\quad cada\quad vez\quad mas\quad a\quad un\quad punto\quad L.\\ \qquad def:\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x)=L\quad si\quad \forall \varepsilon >0;\exists M>0\quad tal\quad que\quad si:x>M\quad entonces\left| f(x)-L \right| <\varepsilon }$$
$$ii)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ f(x)=L;\quad es\quad decir\quad si\quad x\quad decrece\quad indefinidamente\quad entonces\quad } \\ los\quad valores\quad de\quad f(x)\quad se\quad acercan\quad cada\quad vez\quad mas\quad a\quad un\quad punto\quad L.\\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ f(x)=L\quad si\quad \forall \varepsilon >0;\exists M<0\quad tal\quad que\quad si:x<M\quad entonces\left| f(x)-L \right| <\varepsilon \quad } $$
$$De\quad i)\quad y\quad ii)\quad podemos\quad deducir:\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ x } } =0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ \frac { 1 }{ x } } =0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { x }^{ p } } } =0;\quad p>0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ { e }^{ -x } } =0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ { e }^{ x }=0 }$$
$$iii)\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=+\infty ;es\quad decir\quad cuando\quad x\quad se\quad acerca\quad a\quad { x }_{ 0 }\quad por\quad la\quad izquierda } \\ y\quad por\quad la\quad derecha\quad los\quad valores\quad de\quad f(x)\quad crecen\quad indefinidamente.\\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=+\infty \quad si\quad \forall M>0;\quad \exists \delta >0\quad tal\quad que\quad 0<\left| x-{ x }_{ 0 } \right| } <\delta \quad entonces:f(x)>M$$
$$iv)\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=-\infty ;\quad es\quad decir\quad cuando\quad x\quad se\quad acerca\quad a\quad { x }_{ 0 }\quad por\quad la\quad izquierda\quad } \\ y\quad por\quad la\quad derecha\quad los\quad valores\quad de\quad f(x)\quad decrecen\quad indefinidamente.\\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=-\infty \quad si\quad \forall M<0;\quad \exists \delta >0\quad tal\quad que\quad 0<\left| x-{ x }_{ 0 } \right| } <\delta \quad entonces:f(x)<M$$
$$v)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x) } =+\infty ;\quad es\quad decir\quad que\quad cuando\quad x\quad crece\quad indefinidamente\quad \\ entonces:\quad f(x)\quad tambien\quad crece\quad indefinidamente.\\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x)=+\infty \Leftrightarrow \forall M>0;\quad \exists N>0\quad tal\quad que\quad si:x>N\quad entonces:\quad f(x)>M\quad } $$
$$vi)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x) } =-\infty ;\quad es\quad decir\quad que\quad cuando\quad x\quad crece\quad indefinidamente\quad \\ entonces:\quad f(x)\quad decrece\quad indefinidamente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall M<0;\quad \exists N>0\quad tal\quad que\quad si:x>N\quad entonces:\quad f(x)<M\quad } $$
$$vi)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ f(x) } =+\infty ;\quad es\quad decir\quad que\quad cuando\quad x\quad decrece\quad indefinidamente\quad \\ entonces:\quad f(x)\quad crece\quad indefinidamente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ f(x)=+\infty \Leftrightarrow \forall M<0;\quad \exists N<0\quad tal\quad que\quad si:x<N\quad entonces:\quad f(x)>M\quad } $$
$$vii)\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ f(x) } =-\infty ;\quad es\quad decir\quad que\quad cuando\quad x\quad decrece\quad indefinidamente\quad \\ entonces:\quad f(x)\quad tambien\quad decrece\quad indefinidamente.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \qquad def:\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty }{ f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall M<0;\quad \exists N<0\quad tal\quad que\quad si:x<N\quad entonces:\quad f(x)<M\quad } $$
Se Define:
$$*)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ { e }^{ \frac { 1 }{ x } }=+\infty } \\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ { e }^{ \frac { 1 }{ x } } } =0\\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ (logx)=+\infty } \\ \qquad *)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ (logx)=-\infty } $$
Limite Trigonométrico Fundamental.
$$Veamos:\quad \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { senx }{ x } ;\quad } donde\quad si\quad reemplazamos\quad directamente\\ tenemos\quad una\quad indeterminacion:\quad \frac { 0 }{ 0 } .\\ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { senx }{ x } ;\quad } conocido\quad como\quad limite\quad trigonometrico\quad fundamental,\\ y:\quad \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { senx }{ x } =1\quad }$$
Les Dejare un Archivo Pdf con ejercicios resueltos de estos temas: aquí el enlace
martes, 23 de diciembre de 2014
LIMITES LATERALES Y CONTINUIDAD
LIMITES LATERALES
$$\quad \quad \quad \quad Se\quad dice\quad que\quad el\quad limite\quad de\quad f(x)\quad cuando\quad x\quad tiende\quad a\quad { x }_{ 0 }\quad por\quad la\quad derecha\\ (es\quad decir\quad que\quad x\quad toma\quad valores\quad mayores\quad que\quad { x }_{ 0 })\quad es\quad A\quad y\quad se\quad nota:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { 0 }^{ + } } }{ f(x)=\quad A } \\ si:\quad para\quad todo\quad \varepsilon >0\quad existe\delta >0/para\quad todox>{ x }_{ 0\quad }si:0<x-{ x }_{ 0 }<\delta \Rightarrow \left| f(x)-A \right| <\varepsilon$$
$$\quad \quad \quad \quad Se\quad dice\quad que\quad el\quad limite\quad de\quad f(x)\quad cuando\quad x\quad tiende\quad a\quad { x }_{ 0 }\quad por\quad la\quad izquierda\\ (es\quad decir\quad que\quad x\quad toma\quad valores\quad menores\quad que\quad { x }_{ 0 })\quad es\quad A\quad y\quad se\quad nota:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { 0 }^{ - } } }{ f(x)=\quad B } \\ si:\quad para\quad todo\quad \varepsilon >0\quad existe\quad \delta >0/para\quad cada\quad x<{ x },si:0<x-{ x }_{ 0 }<\delta \Rightarrow \left| f(x)-B \right| <\varepsilon$$
Observacion.- Puede probarse que el limite de f(x) cuando X tiende a Xo existe si y solo si existe el limite por la derecha y existe el limite por la izquierda y ambos son iguales. es decir:
$$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=A\quad \Leftrightarrow } \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { { 0 }^{ + } }^{ } } }{ f(x)= } \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { 0 }^{ - } } }{ f(x)=A }$$
Ejemplo:
Evaluar los siguientes limites y ver si existen los limites laterales y consecuentemente ver si existe el limite:
$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \left| x \right| }{ x } } ;\quad como:\quad \left| x \right| =\left\{ { x;\quad \quad \quad si:\quad x\ge 0 }\\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad -x;\quad \quad si:\quad x<0\quad } \right\} \\ entonces\quad f(x)=\left\{ { \frac { x }{ x } ;\quad \quad \quad si:\quad x\ge 0 }\\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { -x }{ x } }\quad \quad \quad si:\quad x<0 \right\} \\ entonces\quad podemos\quad calcular\quad los\quad limites\quad laterales:\\ i)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { x }{ x } } =\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ 1 } =\quad 1\quad \quad \quad (existe\quad limite\quad por\quad la\quad derecha)\\ ii)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { -x }{ x } } =\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ -1=-1 } \quad (existe\quad el\quad limite\quad por\quad la\quad izquierda)\\ como\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x)\neq } \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ f(x)\quad entonces\quad no\quad existe:\quad \lim _{ x\rightarrow 0 }{ f(x) } }$$
$$sea:\quad f(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }+a\quad \quad si:\quad x\ge 1 \\ x+b\quad \quad \quad si:\quad x<1\quad \end{cases}\\ donde\quad a\quad y\quad b\quad son\quad constantes,\quad para\quad que\quad exista\quad el\quad limite\quad que\quad relacion\quad debe\quad haber\\ entre\quad a\quad y\quad b?\\ veamos\quad los\quad limites\quad laterales\quad de\quad la\quad funcion:\\ \qquad i)\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ { x }^{ 2 } } +a=1+a\\ \qquad ii)\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ x+b=1+b } \\ existe\quad \lim _{ x\rightarrow 1 }{ f(x)\Leftrightarrow \lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x)\quad entonces: } } } \\ \qquad existe:\quad \lim _{ x\rightarrow 1 }{ f(x)\Leftrightarrow } 1+a=1+b\\ entonces\quad existe\quad el\quad limite\quad si\quad a=b.$$
CONTINUIDAD
la gran mayoria de funciones que hemos tratado gozan de una caracteristica muy importante que es la continuidad, intuitivamente la continuidad de una funcion y=f(x) significa que si x es procimo a un punto Xo entonces f(x) esta muy cercano a f(Xo) tanto como nosotros queramos.
DEFINICION.-
$$Una\quad función\quad f\quad se\quad dice\quad que\quad es\quad continua\quad en\quad x={ x }_{ 0\quad }de\quad su\quad dominio\quad si:\\ \qquad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=f({ x }_{ 0 }) } \\ en\quad otras\quad palabras\quad \quad una\quad funcion\quad es\quad continua\quad si\quad y\quad solo\quad si:\\ \qquad i)\quad f\quad esta\quad definida\quad en\quad x={ x }_{ 0\quad }es\quad decir\quad existe\quad f({ x }_{ 0 })\\ \qquad ii)\quad existe:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x) } \\ \qquad iii)\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=f({ x }_{ 0 }) }$$
Ejemplos de funciones continuas.-
$$i)\quad la\quad funcion\quad constante\quad es\quad continua\quad en\quad todo\quad punto.\quad \\ \qquad en\quad efecto\quad sea:f(x)=k\quad entonces:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ *\quad f({ x }_{ 0 })=k\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ *\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=k } =f({ x }_{ 0 })\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad De\quad acuerdo\quad a\quad la\quad definicion\quad de\quad continuidad\quad se\quad dice\quad que\quad la\quad funcion\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad constante\quad es\quad continua\quad en\quad todo\quad punto.$$
$$ii)\quad la\quad funcion\quad identidad\quad es\quad continua\quad en\quad todo\quad punto.\\ \qquad en\quad efecto\quad sea:\quad f(x)=x\quad entonces:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ *\quad f({ x }_{ 0 })={ x }_{ 0 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ **\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)={ x }_{ 0 }=f({ x }_{ 0 }) } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad De\quad acuerdo\quad a\quad la\quad definicion\quad de\quad continuidad\quad la\quad funcion\quad identidad\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad es\quad continua\quad en\quad todo\quad punto.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
Teorema:
$$\quad \quad \quad Sean\quad f\quad y\quad g\quad funciones\quad continuas\quad en\quad un\quad punto\quad x={ x }_{ 0 }\quad entonces:\\ i)\quad f+g;\quad f-g;\quad f*g;\quad \frac { f }{ g } \quad g\neq 0;\quad son\quad continuas\quad en\quad x={ x }_{ 0 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
Continuidad Lateral.-
$$i)\quad Se\quad dice\quad que\quad f\quad es\quad continua\quad por\quad la\quad derecha\quad si:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { 0 }^{ + } } }{ f(x)=f({ x }_{ 0 }) } \\ ii)\quad Se\quad dice\quad que\quad f\quad es\quad continua\quad por\quad la\quad izquierda\quad si:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { x }^{ - } } }{ f(x)=f({ x }_{ 0 }) } \\ observación.-\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad x={ x }_{ 0 }\quad si\quad y\quad solo\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad por\quad \\ la\quad derecha\quad y\quad por\quad la\quad izquierda.$$
Ejemplo:
$$Analizar\quad la\quad continuidad\quad de\quad la\quad función\quad definida\quad por:\quad \\ f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-4 }{ x+2 } \quad \quad \quad ;\quad si\quad x\neq -2 \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad ;\quad si\quad x=-2 \end{cases}\\ *\quad como\quad f(-2)=\quad 0\quad entonces\quad f\quad esta\quad definida\quad en\quad x=-2\\ *\quad \lim _{ x\rightarrow -2 }{ \frac { { x }^{ 2 }-4 }{ x+2 } =\quad \lim _{ x\rightarrow -2 }{ x-2=-4\quad en\quad consecuencia\quad \lim _{ x\rightarrow -2 }{ f(x)\quad existe. } } } \\ como:\quad \lim _{ x\rightarrow -2 }{ f(x)\neq f(-2)\quad f\quad no\quad es\quad continua\quad en\quad x=-2 } \\ veamos\quad si\quad existe\quad o\quad no\quad continuidad\quad lateral:\\ \qquad como:\quad \lim _{ x\rightarrow -{ 2 }^{ + } }{ f(x)=-4\neq f(-2)\quad y\quad \lim _{ x\rightarrow -{ 2 }^{ - } }{ f(x) } =4\neq f(-2)\quad se\quad sigue\quad que\quad } \\ f\quad no\quad es\quad continua\quad en\quad -2\quad ni\quad por\quad la\quad derecha\quad ni\quad por\quad la\quad izquierda.$$
A continuacion les dejo ejercicios resueltos en pdf, sobre limites laterales y continuidad aqui el enlace.
$$\quad \quad \quad \quad Se\quad dice\quad que\quad el\quad limite\quad de\quad f(x)\quad cuando\quad x\quad tiende\quad a\quad { x }_{ 0 }\quad por\quad la\quad derecha\\ (es\quad decir\quad que\quad x\quad toma\quad valores\quad mayores\quad que\quad { x }_{ 0 })\quad es\quad A\quad y\quad se\quad nota:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { 0 }^{ + } } }{ f(x)=\quad A } \\ si:\quad para\quad todo\quad \varepsilon >0\quad existe\delta >0/para\quad todox>{ x }_{ 0\quad }si:0<x-{ x }_{ 0 }<\delta \Rightarrow \left| f(x)-A \right| <\varepsilon$$
$$\quad \quad \quad \quad Se\quad dice\quad que\quad el\quad limite\quad de\quad f(x)\quad cuando\quad x\quad tiende\quad a\quad { x }_{ 0 }\quad por\quad la\quad izquierda\\ (es\quad decir\quad que\quad x\quad toma\quad valores\quad menores\quad que\quad { x }_{ 0 })\quad es\quad A\quad y\quad se\quad nota:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { 0 }^{ - } } }{ f(x)=\quad B } \\ si:\quad para\quad todo\quad \varepsilon >0\quad existe\quad \delta >0/para\quad cada\quad x<{ x },si:0<x-{ x }_{ 0 }<\delta \Rightarrow \left| f(x)-B \right| <\varepsilon$$
Observacion.- Puede probarse que el limite de f(x) cuando X tiende a Xo existe si y solo si existe el limite por la derecha y existe el limite por la izquierda y ambos son iguales. es decir:
$$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=A\quad \Leftrightarrow } \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { { 0 }^{ + } }^{ } } }{ f(x)= } \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { 0 }^{ - } } }{ f(x)=A }$$
Ejemplo:
Evaluar los siguientes limites y ver si existen los limites laterales y consecuentemente ver si existe el limite:
$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \left| x \right| }{ x } } ;\quad como:\quad \left| x \right| =\left\{ { x;\quad \quad \quad si:\quad x\ge 0 }\\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad -x;\quad \quad si:\quad x<0\quad } \right\} \\ entonces\quad f(x)=\left\{ { \frac { x }{ x } ;\quad \quad \quad si:\quad x\ge 0 }\\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { -x }{ x } }\quad \quad \quad si:\quad x<0 \right\} \\ entonces\quad podemos\quad calcular\quad los\quad limites\quad laterales:\\ i)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { x }{ x } } =\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ 1 } =\quad 1\quad \quad \quad (existe\quad limite\quad por\quad la\quad derecha)\\ ii)\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \frac { -x }{ x } } =\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ -1=-1 } \quad (existe\quad el\quad limite\quad por\quad la\quad izquierda)\\ como\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x)\neq } \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ f(x)\quad entonces\quad no\quad existe:\quad \lim _{ x\rightarrow 0 }{ f(x) } }$$
$$sea:\quad f(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }+a\quad \quad si:\quad x\ge 1 \\ x+b\quad \quad \quad si:\quad x<1\quad \end{cases}\\ donde\quad a\quad y\quad b\quad son\quad constantes,\quad para\quad que\quad exista\quad el\quad limite\quad que\quad relacion\quad debe\quad haber\\ entre\quad a\quad y\quad b?\\ veamos\quad los\quad limites\quad laterales\quad de\quad la\quad funcion:\\ \qquad i)\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ { x }^{ 2 } } +a=1+a\\ \qquad ii)\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ x+b=1+b } \\ existe\quad \lim _{ x\rightarrow 1 }{ f(x)\Leftrightarrow \lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x)\quad entonces: } } } \\ \qquad existe:\quad \lim _{ x\rightarrow 1 }{ f(x)\Leftrightarrow } 1+a=1+b\\ entonces\quad existe\quad el\quad limite\quad si\quad a=b.$$
CONTINUIDAD
la gran mayoria de funciones que hemos tratado gozan de una caracteristica muy importante que es la continuidad, intuitivamente la continuidad de una funcion y=f(x) significa que si x es procimo a un punto Xo entonces f(x) esta muy cercano a f(Xo) tanto como nosotros queramos.
DEFINICION.-
$$Una\quad función\quad f\quad se\quad dice\quad que\quad es\quad continua\quad en\quad x={ x }_{ 0\quad }de\quad su\quad dominio\quad si:\\ \qquad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=f({ x }_{ 0 }) } \\ en\quad otras\quad palabras\quad \quad una\quad funcion\quad es\quad continua\quad si\quad y\quad solo\quad si:\\ \qquad i)\quad f\quad esta\quad definida\quad en\quad x={ x }_{ 0\quad }es\quad decir\quad existe\quad f({ x }_{ 0 })\\ \qquad ii)\quad existe:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x) } \\ \qquad iii)\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=f({ x }_{ 0 }) }$$
Ejemplos de funciones continuas.-
$$i)\quad la\quad funcion\quad constante\quad es\quad continua\quad en\quad todo\quad punto.\quad \\ \qquad en\quad efecto\quad sea:f(x)=k\quad entonces:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ *\quad f({ x }_{ 0 })=k\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ *\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)=k } =f({ x }_{ 0 })\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad De\quad acuerdo\quad a\quad la\quad definicion\quad de\quad continuidad\quad se\quad dice\quad que\quad la\quad funcion\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad constante\quad es\quad continua\quad en\quad todo\quad punto.$$
$$ii)\quad la\quad funcion\quad identidad\quad es\quad continua\quad en\quad todo\quad punto.\\ \qquad en\quad efecto\quad sea:\quad f(x)=x\quad entonces:\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ *\quad f({ x }_{ 0 })={ x }_{ 0 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ **\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)={ x }_{ 0 }=f({ x }_{ 0 }) } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad De\quad acuerdo\quad a\quad la\quad definicion\quad de\quad continuidad\quad la\quad funcion\quad identidad\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad es\quad continua\quad en\quad todo\quad punto.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
Teorema:
$$\quad \quad \quad Sean\quad f\quad y\quad g\quad funciones\quad continuas\quad en\quad un\quad punto\quad x={ x }_{ 0 }\quad entonces:\\ i)\quad f+g;\quad f-g;\quad f*g;\quad \frac { f }{ g } \quad g\neq 0;\quad son\quad continuas\quad en\quad x={ x }_{ 0 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$
Continuidad Lateral.-
$$i)\quad Se\quad dice\quad que\quad f\quad es\quad continua\quad por\quad la\quad derecha\quad si:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { 0 }^{ + } } }{ f(x)=f({ x }_{ 0 }) } \\ ii)\quad Se\quad dice\quad que\quad f\quad es\quad continua\quad por\quad la\quad izquierda\quad si:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ { x }^{ - } } }{ f(x)=f({ x }_{ 0 }) } \\ observación.-\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad x={ x }_{ 0 }\quad si\quad y\quad solo\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad por\quad \\ la\quad derecha\quad y\quad por\quad la\quad izquierda.$$
Ejemplo:
$$Analizar\quad la\quad continuidad\quad de\quad la\quad función\quad definida\quad por:\quad \\ f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-4 }{ x+2 } \quad \quad \quad ;\quad si\quad x\neq -2 \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad ;\quad si\quad x=-2 \end{cases}\\ *\quad como\quad f(-2)=\quad 0\quad entonces\quad f\quad esta\quad definida\quad en\quad x=-2\\ *\quad \lim _{ x\rightarrow -2 }{ \frac { { x }^{ 2 }-4 }{ x+2 } =\quad \lim _{ x\rightarrow -2 }{ x-2=-4\quad en\quad consecuencia\quad \lim _{ x\rightarrow -2 }{ f(x)\quad existe. } } } \\ como:\quad \lim _{ x\rightarrow -2 }{ f(x)\neq f(-2)\quad f\quad no\quad es\quad continua\quad en\quad x=-2 } \\ veamos\quad si\quad existe\quad o\quad no\quad continuidad\quad lateral:\\ \qquad como:\quad \lim _{ x\rightarrow -{ 2 }^{ + } }{ f(x)=-4\neq f(-2)\quad y\quad \lim _{ x\rightarrow -{ 2 }^{ - } }{ f(x) } =4\neq f(-2)\quad se\quad sigue\quad que\quad } \\ f\quad no\quad es\quad continua\quad en\quad -2\quad ni\quad por\quad la\quad derecha\quad ni\quad por\quad la\quad izquierda.$$
A continuacion les dejo ejercicios resueltos en pdf, sobre limites laterales y continuidad aqui el enlace.
Limites
LIMITES
Se dice que el limite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y solo si:
∀
> 0 
> 0 tal que: 
x E Dom(f), 0 < |x-c|<⇒ |f(x)-L|<
PROPIEDADES DE LOS LIMITES.-
Sean f y g funciones continuas tales que: $$\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } =L\quad y\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } =K$$ entonces se tiene que:
$$i)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ (f+g)(x)=\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } +\lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } } =L+K$$
$$ii)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ (f-g)(x)=\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } -\lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } } =L-K$$
$$iii)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ (f*g)(x)=\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } *\lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } } =LK$$
$$iv)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ (\cfrac { f }{ g } )(x)=\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } /\lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } } =\frac { L }{ K } \quad ;\quad K\neq 0$$
$$v)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ { \left[ f(x) \right] }^{ g(x) }=\left[ \lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } \right] ^{ \lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } } } ={ L }^{ K };\quad \\ \quad \quad \quad con\quad K\quad y\quad L\quad no\quad simultaneamente\quad nulos.$$
$$vi)\quad si:\quad \sqrt [ n ]{ f(x) } existe,\quad entonces:\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \lim _{ x\rightarrow c }{ \sqrt [ n ]{ f(x) } } =\sqrt [ n ]{ \lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } } =\sqrt [ n ]{ L }$$
TEOREMA.-
$$i)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ x } =c$$
$$ii)\quad Si:\quad f(x)=k\quad (funcion\quad constante.)\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad entonces:\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ f(x)=k } \quad$$
$$iii)\quad Si:\quad P(x)\quad es\quad una\quad funcion\quad polinominal.\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad se\quad tiene\quad que:\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ P(x)=P(c) }$$
Los resultados enunciados en el teorema anterior representan las reglas fundamentales para operar con limites.
Muchas veces intentamos hallar el límite de una función, puede ser que esta tienda a
la forma 0/0, la misma que se denomina una forma indeterminada. en estos casos es necesario un análisis mas detallado de la función para ver si el limite planteado existe o no.
TEOREMA.-
$$Si:\quad f\quad y\quad g\quad toman\quad los\quad mismos\quad valores\quad en\quad { x }_{ 0 },\quad [{ N }^{ * }({ x }_{ 0 },\delta )]\\ \quad \quad \quad y\quad si\quad existen:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)\quad y } \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ g(x)\quad \quad } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad entonces:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)= } \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ g(x).\quad }$$
EJEMPLOS:
$$\lim _{ x\rightarrow -3 }{ \frac { { x }^{ 2 }+x-6 }{ x+3 } } =\quad \frac { { (-3) }^{ 2 }+(-3)-6 }{ -3+3 } \quad es\quad de\quad la\quad forma\quad \frac { 0 }{ 0 }$$
y por el teorema anterior si tomamos: $$f(x)=\frac { { x }^{ 2 }+x-6 }{ x+3 } =\frac { (x+3)(x-2) }{ x+3 } \quad y\quad g(x)=x-2$$
Obviamente f y g no son iguales ya que f(-3) no esta definido y g(-3)=-5 pero para
todo valor de x diferente de -3 se cumple que f(x) = g(x), en consecuencia aplicando el
teorema anterior se tiene: $$\lim _{ x\rightarrow -3 }{ \frac { (x+3)(x-2) }{ x+3 } } =\lim _{ x\rightarrow -3 }{ x-2 } =-5$$
$$ii)\quad \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { { x }^{ 2 }-3x-10 }{ x-5 } } ,\quad =\quad \frac { { 5 }^{ 2 }-3(5)-10 }{ 5-5 } ,\quad de\quad la\quad forma\quad \frac { 0 }{ 0 } ,\quad indet.\\ \\ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { { x }^{ 2 }-3x-10 }{ x-5 } } =\quad \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { (x-5)(x+2) }{ x-5 } } =\lim _{ x\rightarrow 5 }{ x+2 } =7$$
dejare un archivo pdf con ejercicios resueltos sobre limites en los diferentes casos aqui el enlace de descarga
Al hablar de limite de una función nos estamos refiriendo hacia donde se dirige la función cuando x tiende a un determinado punto.
Bueno muchos de nosotros conocemos procedimientos para calcular el limite de una función en un punto, de lo que no se habla con frecuencia es de la definición del limite de una función y como se resuelve ejercicios de este tipo, lo cual mencionaremos a continuación:
∀
> 0 > 0 tal que: x E Dom(f), 0 < |x-c|<⇒ |f(x)-L|<PROPIEDADES DE LOS LIMITES.-
Sean f y g funciones continuas tales que: $$\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } =L\quad y\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } =K$$ entonces se tiene que:
$$i)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ (f+g)(x)=\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } +\lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } } =L+K$$
$$ii)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ (f-g)(x)=\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } -\lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } } =L-K$$
$$iii)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ (f*g)(x)=\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } *\lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } } =LK$$
$$iv)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ (\cfrac { f }{ g } )(x)=\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } /\lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } } =\frac { L }{ K } \quad ;\quad K\neq 0$$
$$v)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ { \left[ f(x) \right] }^{ g(x) }=\left[ \lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } \right] ^{ \lim _{ x\rightarrow c }{ g(x) } } } ={ L }^{ K };\quad \\ \quad \quad \quad con\quad K\quad y\quad L\quad no\quad simultaneamente\quad nulos.$$
$$vi)\quad si:\quad \sqrt [ n ]{ f(x) } existe,\quad entonces:\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \lim _{ x\rightarrow c }{ \sqrt [ n ]{ f(x) } } =\sqrt [ n ]{ \lim _{ x\rightarrow c }{ f(x) } } =\sqrt [ n ]{ L }$$
TEOREMA.-
$$i)\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ x } =c$$
$$ii)\quad Si:\quad f(x)=k\quad (funcion\quad constante.)\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad entonces:\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ f(x)=k } \quad$$
$$iii)\quad Si:\quad P(x)\quad es\quad una\quad funcion\quad polinominal.\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad se\quad tiene\quad que:\quad \lim _{ x\rightarrow c }{ P(x)=P(c) }$$
Los resultados enunciados en el teorema anterior representan las reglas fundamentales para operar con limites.
Muchas veces intentamos hallar el límite de una función, puede ser que esta tienda a
la forma 0/0, la misma que se denomina una forma indeterminada. en estos casos es necesario un análisis mas detallado de la función para ver si el limite planteado existe o no.
TEOREMA.-
$$Si:\quad f\quad y\quad g\quad toman\quad los\quad mismos\quad valores\quad en\quad { x }_{ 0 },\quad [{ N }^{ * }({ x }_{ 0 },\delta )]\\ \quad \quad \quad y\quad si\quad existen:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)\quad y } \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ g(x)\quad \quad } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad entonces:\quad \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(x)= } \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ g(x).\quad }$$
EJEMPLOS:
$$\lim _{ x\rightarrow -3 }{ \frac { { x }^{ 2 }+x-6 }{ x+3 } } =\quad \frac { { (-3) }^{ 2 }+(-3)-6 }{ -3+3 } \quad es\quad de\quad la\quad forma\quad \frac { 0 }{ 0 }$$
y por el teorema anterior si tomamos: $$f(x)=\frac { { x }^{ 2 }+x-6 }{ x+3 } =\frac { (x+3)(x-2) }{ x+3 } \quad y\quad g(x)=x-2$$
Obviamente f y g no son iguales ya que f(-3) no esta definido y g(-3)=-5 pero para
todo valor de x diferente de -3 se cumple que f(x) = g(x), en consecuencia aplicando el
teorema anterior se tiene: $$\lim _{ x\rightarrow -3 }{ \frac { (x+3)(x-2) }{ x+3 } } =\lim _{ x\rightarrow -3 }{ x-2 } =-5$$
$$ii)\quad \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { { x }^{ 2 }-3x-10 }{ x-5 } } ,\quad =\quad \frac { { 5 }^{ 2 }-3(5)-10 }{ 5-5 } ,\quad de\quad la\quad forma\quad \frac { 0 }{ 0 } ,\quad indet.\\ \\ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { { x }^{ 2 }-3x-10 }{ x-5 } } =\quad \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { (x-5)(x+2) }{ x-5 } } =\lim _{ x\rightarrow 5 }{ x+2 } =7$$
dejare un archivo pdf con ejercicios resueltos sobre limites en los diferentes casos aqui el enlace de descarga
Suscribirse a:
Entradas (Atom)